Исследование активных RC-фильтров

МИНОБРНАУКИ РФ

ГОУ ВПО «Вологодский государственный  технический университет»

 

 

 

Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

по дисциплине "Электротехника и электроника"

"Исследование  активных RC-фильтров"

Вариант 31

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Студент группы ЭМ-21

Слизова С.В.

Работу принял:

Реутов В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вологда 2013 г.

Техническое задание.

      1. Найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений для электрической цепи каждого звена фильтра.

       2. Получить выражения для АЧХ  и ФЧХ передаточной функции   фильтра и каждого его звена,  построить их графики и указать  тип фильтра.

       3. Найти переходную характеристику  первого звена фильтра и построить  ее график. Определить по графику  период, частоту  и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

       4. Оценить допустимую величину  ступенчатого воздействия на  фильтр для заданного напряжения  на входе усилителя второго  звена фильтра во избежание  его перегрузки ( по заданию преподавателя).

       5. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.

      6. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста.

       7. При каких значениях коэффициента усиления усилителя первого звена фильтра цепь будет находиться строго на границе устойчивости? Чему при этом равна частота свободных колебаний в каскаде?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема ARC-фильтра

 

 

Параметры фильтра

 

R₁ = 100 кОм

R₂ = 68 кОм

R₃ = 116 кОм

С₁ = 1,8 нФ

С₂ = 1 нФ

К = 1,2

 

Наименование  импульса - Треугольный видеоимпульс

График импульса:

 

 

 

 

Аналитическое выражение

 

U(t)=              при 0 ≤ t ≤            u(t) = -       при

 

Примечание

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Техническое задание. 2

1. Операторная передаточная функция фильтра. 5

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра. 5

1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде. 6

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3). 7

1.1.3. Расчёт правой части уравнений. 7

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.5) с учетом найденных коэффициентов. 7

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра. 9

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра. 11

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра. 12

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра. 14

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра. 17

3.Переходная характеристика первого звена фильтра. 19

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра. 20

4. Исследование устойчивости электрического фильтра. 21

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции. 22

4.2. Критерий устойчивости Найквиста. 23

4.2.1.Узловые уравнения схемы в общем виде. 24

4.2.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений(4.3) и (4.4): 24

4.2.3.Расчёт правой части уравнений: 24

4.2.4.Уравнения (4.3) – (4.6) с учетом найденных коэффициентов: 25

4.2.5.Решение уравнений (4.7)-(4.10). 25

4.3 Расчёт коэффициента усиления на границе устойчивости. 26

Список используемой литературы 27

 

 

              1. Операторная передаточная функция фильтра.

Операторной передаточной функцией называется отношение  изображений выходного и входного напряжений (или токов). Для рассматриваемого в курсовой работе электрического фильтра, в котором звенья соединены каскадом,  передаточная функция имеет вид:

 

                                                                                     (1.1)

 

где - передаточная функция фильтра;

- передаточная функция по  напряжению первого звена фильтра;

- передаточная функция по  напряжению второго звена фильтра.

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра.

 

Принципиальная  схема электрической цепи звена  представлена на рис.1.1.

Рис.1.1

 

Представим  схему замещения первого звена (рис. 1.2).

 

 

Рис.1.2

 1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде.

 

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда  U₆(p) = U₀(p)=0.

Для выходных узлов узловое уравнение не может  быть составлено, так как при нулевых  выходных сопротивлениях идеальных  усилителей их выходные проводимости равны бесконечности. Поэтому для  расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (5):

 

Узел  №3:

(1.2)

Узел  №5:

(1.3)

Как было сказано выше, в электрических  цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного  узла не составляют. Вместо этого рекомендуется  использовать уравнение связи. Для  данного звена нужно составить  два уравнения связи:

                                                                         (1.4)

                                                                          (1.5)

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3).

 

,        ,        ,

,            ,

 

 

,         ,         ,

,          .

1.1.3. Расчёт правой части уравнений.

 

,                     

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.5) с учетом найденных коэффициентов.

                 (1.6)

                            (1.7)

                                                   (1.8)

                                                   (1.9)

 

 

    1.1.5. Расчет передаточной функции первого звена.

 

Из уравнения  (1.9)  выразим :

,                  (1.10)

 

 

Выражения (1.8) и (1.10) подставим в (1.7) и выразим :

,        (1.11)

Уравнение (1.11) подставим в (1.6) и выразим через :

, (1.12)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

, (1.13)

 

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель  и знаменатель на коэффициент  при операторе :

,          (1.14)

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго  порядка, формально совпадающий  с характеристическим полиномом  резонансного колебательного контура.

где и - резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса:

,

Численно  они будут посчитаны ниже.

          

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра.

 

Принципиальная  схема электрической цепи звена  представлена на рис.1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        Рис.1.3

 

Представим  схему замещения второго звена (рис. 1.4).

       Рис.1.4

 

2.2.1.Узловые  уравнения 2-го звена в общем  виде.

Выберем узел 5 в качестве опорного узла. Тогда U’₅(p) = U’₀(p)=0.

Для расчета  передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

Узел  №3:

        (1.15)

Узел  №4:

          (1.16)

 

Тогда   , потому что k₂ = ∞                                  (1.17)

 

2.2.2.Расчёт  коэффициентов левой части уравнений  (1.15) и (1.16).

 

, , , ,

, , , .

       2.2.3.Расчёт правой части уравнений.

 

,        

       2.2.4.Уравнения (1.15) – (1.17) с учетом найденных коэффициентов.

                       (1.18)

                                                (1.19)

                                                                             (1.20)

 

2.2.5. Расчет  передаточной функции второго  звена.

        Из уравнения (1.19) выразим :

                         ,                                                        (1.21)

 

 

 

Уравнения (1.21) подставим в (1.18) и выразим через :

      (1.22)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

,                     (1.23)

 

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель  и знаменатель на коэффициент  при операторе :

                                (1.24)

 

Добротность и частота полюса:

 ,   

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра.

 

Передаточная  функция фильтра при каскадном  соединении звеньев:

        (1.25)

 

 

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра.

 

Расчётные выражения для частотных характеристик  АЧХ и ФЧХ фильтра получим  путём подстановки  в выражение (1.25). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигнала и тип фильтра.

 

2.1. АЧХ и ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  первого звена фильтра получим  на основании (1.14), подставив в него :

 

                 (2.1)

 

Учитывая, что 

, выражение (2.1) примет следующий вид:                 ,

 

Умножив числитель и знаменатель дроби  на сопряженное знаменателю, получим:

Выражение для АЧХ примет вид:

Выражение для ФЧХ:

      Построим графики АЧХ и   ФЧХ с помощью графического  редактора Mathcad.  Для этого представим (2.1) функцией аргумента ω :

 

 

 

 

     Графики АЧХ передаточной функции первого звена приведены на рис. 2.1 и на рис. 2.2 соответственно в линейном и логарифмическом масштабах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1

                                                                  Рис.2.2

 

График  ФЧХ передаточной функции первого  звена:

                                                              Рис.2.3

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  второго звена фильтра получим  на основании (1.24), подставив в него :

          (2.2),       где

 – комплексная передаточная функция второго звена фильтра.