Амплитудные фазовые и переходные характеристики линейной RLC цепи

                                      (11)

             при  t<0 (контур по рис. 2,б)

                                             (12)

              Важное свойство контурных интегралов: величина интеграла не зависит  от формы замкнутого контура,  по которому производится интегрирование, если только особые точки подынтегральной  функции остаются внутри контура.  На основании этого свойства  контур, образованный добавлением  дуги АВС бесконечно большого радиуса R (рис.2, а) к прямой ,  , можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой  ,  , остаются внутри контура.

                Итак, вычисление интеграла (8) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции.

                Представим подынтегральную функцию  выражения (8) в виде

                                                                                                           (13)

Тогда вычет  функции , имеющей в точке простой полюс (первой кратности), определяется формулой

                                                                                                        (14)

Если функция имеет в точке полюс кратности m (где m – целое положительное число), то

                                                             (15)

                 Методика применения контурных  интегралов для представления  различных функций, играющих большую  роль в теории переходных процессов,  будет в дальнейшем пояснена  на примерах.

                Для составления выражения (8) не обязательно всегда начинать с интеграла Фурье. Если известно интегро-дифференциальное уравнение исследуемой системы, выражение для  может быть получено путем алгебраизации уравнения с помощью преобразования Лапласа.

                Пусть, например, имеется уравнение

                                                                                      

                 Искомой функции соответствует пока неизвестное изображение . Для алгебраизации приведенного уравнения нужно найти изображение для производной и интеграла функции .

                  Рассмотрим сначала производную .

Применяя  формулу (9) и интегрируя по частям, получаем

 

Учитывая, что  и  , можем написать

 

Где - значение функции при t=0.

                Подобным же образом для можно получить

 

Где постоянная С соответствует значению интеграла у моменту t=0, т.е.

 

                Алгебраизация интегро-дифференциальных уравнений особенно упрощается при «нулевых» начальных условиях, т.е. при рассмотрении процессов, связанных с подключением в момент t=0 электродвижущих сил к «пустой» цепи (когда все токи через индуктивности и напряжения на емкостях равны нулю). В этом случае

                                                                                          (16) 

                                                                                 (17)

Очевидно, что производной i(t) к-ого порядка соответствует изображение .

В результате применения преобразования (9) ко всем членам исходного интегро-дифференциального уравнения последнее может быть приведено к виду

                                                                                      (18)

где  - изображение для искомой функции i(t);

     – изображение для внешней силы e(t), действующей на рассматриваемую систему, а

        - функция от p, определяемая параметрами цепи (операторное сопротивление).

             Таким образом, изображение искомое функции i(t)определяется в явной форме

 

 

 

 

 

 

МЕТОДЫ  ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

             При сложных цепях значительно более удобными оказываются методы исследования временных характеристик, основанные на спектральном представлении сигнала. К этим методам относится метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лапласа).

             Преобразованной по Лапласу функцией f(t) вещественной переменной времени t называют новую функцию F(s) от комплексной переменной s, причем

                                                                                               (19)

Это выражение  называют интегралом Лапласа. Комплексную  переменную

                                                                                                                (20)

Называют  комплексной частотой, или для  краткости просто частотой. Часто s применяют букву p.

                Чтобы интеграл (1) сходится, нужно, чтобы f(t) возрастала при a<s не быстрее, чем

                                                                                                                   (21)

                Экспоненциальная функция времени – достаточно общая функция, с помощью которой можно представить напряжение, воздействующее на электрическую цепь, например постоянное или синусоидальное.

                 Применим преобразование Лапласа  к экспоненциальной функции (21). Подставляя в интеграл Лапласа (21) экспоненциальную функцию (21), находим

                                                             (22)

                  В частном случае a=0, что соответствует включению в момент t=0 единичного скачка напряжения.

                  Единичный скачок напряжения  можно обозначить 

                                                                                          (23)

                Для единичного скачка

                                                                                                                      (24)

Исходная (преобразуемая) функция f(t) называется оригиналом, а преобразованная функция F(s) - изображением.

  

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА.

Расчет модуля K (коэффициент передачи) и фазы Ф RLC – цепи. Принятые обозначения:

Q – добротность контура;

 , где W – текущая частота, - резонансная частота (= )

Последняя литера в имени функции указывает  на элемент, который является «выходным». В данном случае рассматривается KRL_C(x) (коэффициент передачи) и ФLC_R(x) (фаза) RLC - цепи , выходным  элементом которых  является  сопротивление (рис. 3)

 

 

 

          Q=10;  

 

         

 

 

 

 

 

 

 

Если добротность Q=5, то коэффициент передачи и фаза будут выглядеть следующим образом:

 

                                                        

 

 

 

 

А для добротности Q=20, коэффициент передачи будет выглядеть так:

 

 

 

 

 

Переходная  характеристика цепи, связывающая входное  и выходное напряжения, определяется значениями коэффициента передачи по напряжению.

Рассчитаем  переходную характеристику RLC – цепи с выходным элементом C.

 

Замена 

;

 

Умножаем  на

  – изображение для выходного напряжения.

 

         

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

.

; 

, где - текущее безразмерное время, t – текущее время, T – период колебаний.

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

           В ходе работы удалось познакомиться с методами исследования частотных характеристик и методами исследования временных характеристик, выявить, что при сложных цепях значительно более удобным оказывается метод, основанный на спектральном представлении сигнала, т.е. метод временных характеристик. А также удалось рассчитать коэффициент передачи и переходную характеристику  RLC – цепи.

           Все зависимости - на одном  графике для удобства сравнения  и анализа.(рис. 7 а,б)

 

 

 

 

где  KRL1_C(x) и ФRL1_C (x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=10;

       KRL2_C(x) и ФRL2_C(x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=5;

       KRL3_C(x) и ФRL3_C(x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=20.

     

Из полученных в ходе исследований графических  изображений результатов можно заметить, что при увеличении добротности полоса пропускания сужается и изображение   при увеличении добротности так же сужается. Таким образом, амплитудные фазовые и переходные характеристики удобны и незаменимы для расчета сложных RLC цепей нежели классические методы дифференциальных уравнений, используемые только для подсчета простейших схем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарднер М.Ф., Бэрнс Д.Л. Переходные процессы в линейных системах. – М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1949.
2. Гоноровский И.С.Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Советское радио, 1967
3. Демирчан К.С., Неймар Л.Р. Теоретические основы электротехники. – Санкт-Петербург: Питер, 2003
4. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. – М.: Радио и связь, 1990
5. Сиберт У.М. Цепи. Сигналы. Системы. – М.: Мир, 1988
6. ru.wikipedia.org