Амплитудные фазовые и переходные характеристики линейной RLC цепи

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«САРАТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

 

 

 

Кафедра радиотехники  и электродинамики

 

 

 

 

АМПЛИТУДНЫЕ ФАЗОВЫЕ  И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ RLC цепи

 

 

курсовая  работа

 

 

 

студента 2 курса физического факультета

 

Пальнова Александра Александровича

 

 

 

 

 

Научный руководитель
д. ф.-м. н., профессор		И.Н. Салий
Зав. кафедрой
д. ф.-м. н., профессор		И.Н. Салий

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение……………………………………………………………………3
2. Теоретическая часть………………………………………………….…….4
1. Методы исследования частотных характеристик………………...5
2. Методы исследования временных характеристик……………….10
3. Практическая часть. Результаты расчета………………………………..10
4. Заключение………………………………………………………………..14
5. Литература………………………………………………………………...15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

      Современный этап модернизации цифровых технологий характеризуется   значительными изменениями в передаче, обработке и использовании информации, которые оказывают влияние на все стороны жизни общества. Под их влиянием происходят коренные преобразования целого ряда научных направлений, обусловленные переходом от описательных методов исследования к точным количественным методам на основе весьма сложных моделей, с той или иной степенью полноты и достоверности представляющих соответствующие процессы и явления. Все это стало возможным благодаря успехам в создании новых методов и средств формирования и обработки информации, выдвигающих в свою очередь новые научные и технические проблемы, решение которых приводит к следующему качественно новому этапу научно-технического прогресса.

                 В настоящее время доминируют  цифровые методы обработки информации, реализуемые цифровыми процессорами, к которым предъявляются всевозрастающие  требования по быстродействию, объемам памяти, надежности, энергопотреблению и т.п. Наряду с совершенствованием технологий все более значительную роль играют согласование и оптимизации архитектуры вычислительных устройств и систем с реализуемыми в них алгоритмами. В этих условиях от исследователей и инженеров, работающих в области создания систем формирования и обработки информации различного назначения и использования их в различных областях науки и техники, требуется широта представлений, глубокое понимание и знание основных закономерностей, присущих процессам и системам формирования и обработки информации, одним из краеугольных камней в фундаменте которых является теория преобразования сигналов и систем их обработки. 
            В связи с этим интересно рассмотреть вопрос амплитудных фазовых и переходных характеристик линейной RLC цепи и рассчитать коэффициент перехода в этих цепях, оценить результаты расчетов.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Переходными процессами в электрических цепях называются процессы, возникающие при переходе от одного установившегося режима к другому в результате скачкообразного изменения воздействия (его величины, формы, частоты и фазы) или параметров элементов цепей.

Такое изменение  параметров источников и элементов  цепей называется коммутацией.

Теоретически  коммутация считается мгновенной. При  наличии в цепях реактивных элементов  переход от одного установившегося  режима к другому никогда не происходит мгновенно. Это объясняется тем, что переход к новому установившемуся режиму связан с нарастанием или убыванием электрической и магнитной энергий в реактивных элементах. При мгновенном изменении энергии мощность

бесконечно  велика, что может быть только при бесконечно больших токах и напряжениях цепи.

Несколько примеров хорошо известных  переходных процессов явятся своего рода интуитивным введением в  сущность предмета исследования.

Радиоприёмник с подогревными электронными лампами начинает действовать надлежащим образом примерно через полминуты с момента его включения. Промежуток времени, в течение которого ' происходит нагрев катодов, является переходным промежутком. Говорят, что тепловые и электрические характеристики приёмника находятся в переходном (неустановившемся, устанавливающемся, нестационарном) состоянии в течение этого промежутка времени. Таким образом, переходный промежуток является тем промежутком, в течение которого происходит переход от одного установившегося состояния (соответствующего холодным катодам) к другому установившемуся состоянию (соответствующему нагретым катодам).

Другим хорошо известным примером переходного состояния служит состояние электрического двигателя во время его пуска. В механическом отношении происходит переход его ротора из установившегося состояния покоя в установившееся состояние равномерного вращения. Этот процесс сопровождается переходом двигателя из состояния механического покоя в состояние механических колебаний (вибраций). Одновременно изменяется и электрическое состояние двигателя, так как его противоэлектродвижущая сила возрастает от нуля до установившегося рабочего значения.

Задачи, подлежащие решению, математически  формулируются в виде систем линейных интегро-дифференцпальных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащих функции, принадлежащие к классу функции с ограниченной вариацией, с произвольными заданными начальными или граничными условиями. Существуют четыре различных метода решения задач такого рода. Наиболее широко известен метод, излагаемый в элементарных курсах, посвященных интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Назовём его классическим методом. Тремя другими методами являются операторный метод Коши-Хевисайда, метод преобразования Фурье и, наконец, метод преобразования Лапласа.

Ни один из этих методов не был разработан исчерпывающе с точки зрения области и условий применения, а также с точки зрения практической простоты и ясности.

Преобразование Лапласа представляет собой одно из функциональных преобразований. Оно служит для преобразования определённого класса функций вещественной переменной в функций комплексной переменной, «аналитические на полуплоскости или в определённой прямоугольной области комплексной плоскости». Объяснение последнего выражения будет дано ниже. Обычно преобразуемая функция (оригинал) и её изображение совершенно различны по виду.

Прямое преобразование Лапласа (^-преобразование) записывается уравнением

 

в котором по определению  ,   а

являются вещественными переменными

Это интегральное преобразование служит для определения преобразованной  функции («изображения») F(s), соответствующей Заданной функции («оригиналу») f(t).

 

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ  ХАРАКТЕРИСТИК

 

         При частотном методе анализа электрическая цепь задается своими частотными характеристиками, которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. При этом необходимо определить реакцию на произвольное (негармоническое) воздействие. Поскольку частотные характеристики являются характеристиками установившегося режима гармонических колебаний, то целесообразно произвольное воздействие представить в виде совокупности гармонических и реакцию линейной цепи искать как совокупность реакций, вызванных каждым гармоническим воздействием в отдельности. Таким образом, частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

        В основе метода лежит использование  «передаточной функции» цепи, часто  называемой также коэффициентом передачи цепи. В случае четырехполюстника коэффициент передачи обычно определяется как отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжений

                                                                                                    (1)

        Эта безразмерная, в общем случае  комплексная, функция является  важнейшей характеристикой четырехполюстника в стационарном режиме при синусоидальном возбуждении четырехполюстника. Коэффициент передачи удобно представлять в форме

                                                                                               (2)

        Модуль иногда называют амплитудно-частотной характеристикой или просто амплитудной характеристикой четырехполюстника. Аргумент коэффициента передачи называют фазо-частотной характеристикой или просто фазовой характеристикой четырехполюстника.

         Если на входе линейного четырехполюстника действует сигнал в виде э.д.с. произвольной формы, то в соответствии со спектральным методом нужно определить спектральную плотность входного сигнала . Эта операция легко осуществляется с помощью выражения

                                                                                           (3)

Умножение  на определяет спектральную плотность сигнала на выходе четырехполюстника. Наконец, применение к произведению обратного преобразования Фурье выражение

                                                                                        (4)

позволяет определить выходной сигнал функции времени.

            Таким образом, если входной  сигнал записан в виде интеграла  Фурье

                                                                                      (5)

то выходной сигнал может быть представлен  в аналогичной форме:

                                                                          (6)

            Сравнение выражения (6) с (5) показывает, что сигнал на входе линейной цепи может быть получен суммированием спектра входного сигнала с весом . Иным словами, передаточная функция цепи является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра в сигнал .

           Вычисление интегралов вида (6) значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного. Переход от действительной переменной к комплексному переменному позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции . Заменив в выражениях (5)-(6) на , получим

                                                                                         (7)

                                                                             (8)

             При новой переменной функции  определяется выражением, получаемым при замене на в выражении (3):

                                                                                               (9)

             Это соотношение, преобразующее действительную функцию действительного переменного t в комплексную (в общем случае) функцию комплексного переменного p, называется преобразованием Лапласа. иногда называют преобразованной по Лапласу функцией или изображением функции Исходную функцию называют оригиналом.

            Соотношение (7) по аналогии с выражением (4) иногда называют обратным преобразованием Лапласа.

             Сравнивая выражения (8) и (7), приходим к выводу, что переход от к p означает изменение пути интегрирования. В выражении (6) – по прямой, лежащей на плоскости и проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии c от последней (рис. 1).

 

Рис.1

               Величина постоянной с определяется характером подынтегральной функции : пусть интегрирования должен проходить правее особых точек (полюсов) это функции.

             Добавлением к прямой ,  дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования. Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло величины интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного p, а при отрицательных t – в правой.

             Тогда в первом случае, т.е.  при проведении дуги в левой  полуплоскости (рис. 2, а), контур интегрирования  охватывает 

 

Рис. 2

все полюсы подынтегральной функции (лежащие  левее прямой  ,  ) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (8) определяется как

                                     (10)

где  - сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.

            При проведении дуги в правой  полуплоскости, т.е. при t<0 (рис. 2, б), полюсы функции оказываются вне контура интегрирования, и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

             Таким образом, в зависимости  от способа замыкания контура  интегрирования, получим:

             при t>0 (контур по рис 2, а)