Линии разделяющей плоскости

Рассмотрим  обобщенный алгоритм нахождения весового вектора с помощью показа образцов из обучающей последовательности. Будем  считать, что векторы объектов х принадлежат объединенной области диагнозов:

= x, если x ,                                      (24)

= -x, если x .        (25)

Используемая  ранее процедура для векторов объединенной области, имеет вид:

= + ,где                               (26)

=                              (27)

В обобщенном алгоритме используется прежняя  процедура нахождения вектора λ, но выбор скалярного корректирующего множителя r подчинен другим условиям. Пусть построены вектор и соответствующая разделяющая плоскость, но образец распознается неправильно: .

Проведем  корректировку вектора так, чтобы новое положение разделяющей плоскости давало правильное распознавание объекта . Тогда по соотношению (26):

= + > 0          (28)

или

 

>- = .(29)

Если же объект распознается достоверно, то корректировки вектора не требуется и следует положить +1 = 0. Примем обобщенный алгоритм нахождения весового вектора в такой форме:

= + ,где

=              (30)

Здесь – скалярный множитель, соответствующий (n+1)-му приближению. Если положить:

= ,(31)

то получится  указанный ранее алгоритм. Определим  достаточное условие, обеспечивающее приближение к точному решению  в процессе последовательных приближений. Пусть λ представляет собой точное значение весового (разделяющего) вектора:

λ > 0 для всех .                             (32)

Вычитая из обеих частей равенства (26) вектор λ и умножая скалярно обе части равенства на себя, получим:

= +2 ( ) + .  (33)

Последнее соотношение представим так:

= +A.                             (34)

Очевидно, что приА< 0 < и при возрастании n (увеличении числа исправлений) процесс сводится к точному значению . Таким образом, достаточное условие сходимости:

А< 0.                                                     (35)

Остается  выяснить,при каких условиях справедливо последнее неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда , так как в противном случае ( = ) «исправление» не происходит. Учитывая верхнюю строчку неравенства (30), соотношения (33) и (34), найдем:

A = 2 +              (36)

или

A = 2 (2 .        (37)

Первый  член равенства (37) всегда отрицателен по условию (32). Второй член становится отрицательным, если:

0 < < 2.                                                (38)

Последнее условие составляет достаточное условие сходимости процесса. Обычно выбирается постоянное значение = 2 и при условии (38) получается сходящийся алгоритм.[2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Практическая  часть

Воспользуемся программой Excelдля построения графика разделяющей плоскости, результат представлен на рисунке 6.

Рисунок 6

Используя процедуру последовательных приближений, вычислим значения весовых коэффициентов  вектора λ для каждого класса.

= 7 (по теореме Пифагора).

В качестве первого приближения для класса принимаем = , т.к. по условию (18) классу .

= = 54.

 

Далее проверяем  условие разделения (13) и применяем  формулы (21).

· = 54·48 = 2592> 0, следовательно = = 54;

· = 48·26 = 1248> 0, = = 54;

· = 40·22 = 880> 0, = = 54.

Аналогично  рассчитывая до последнего приближения  для класса все λ= 54, т.к. по условию (22) скалярный корректирующий множитель = 0, следовательно = .

По условию (19) классу . Проверяем решающее правило (13), применяем формулу (21).

· = 54·22 = 1188> 0, следовательно,требуется корректировка весового вектора.

= + = 54+22 = 76;

· = 76·10 = 760> 0, = + = 76+10 = 86;

· = 86·8,5 = 731> 0, = + = 86+8,5 = 94,5;

· = 94,5·18 = 1701> 0, = + = 94,5+18 = 112,5;

· = 112,5·24= 2700> 0, = + = 112,5+24 = 136,5;

· = 136,5·26= 3549> 0, = + = 136,5+26 = 162,5;

· = 162,5·12= 1950> 0, = + = 162,5+12 = 174,5;

· = 174,5·20= 3490> 0, = + = 174,5+20 = 194,5;

· = 194,5·14= 2723> 0, = + = 194,5+14 = 208,5;

· = 208,5·32= 6672> 0, = + = 208,5+32 = 240,5;

· = 240,5·28= 6734>0, = + = 240,5+28 = 268,5;

· = 268,5·6= 1611> 0, = + = 268,5+6 = 274,5;

· = 274,5·18=4941>0, = + = 274,5+18 = 292,5.

Для определениязначений весовых коэффициентов вектора λ для каждого класса с помощью обобщенного алгоритма нахождения разделяющей гиперплоскости, мы условно используем те же значения, т.к. = = .

 Разделяющая  функция при распознавании двух  классов вычисляется по формуле  (7). Подставляя вычисленные значения  компонентов весового вектора,  получим:

f(x)=54·(54+48+26+62+50+55+38+56+45+48+36+51+45) +

+(76·22+86·10+94,5·8,5+112,5·18+136,5·24+162,5·26+174,5·12+194,5·20+ +208,5·14+240,5·32 +268,5·28+274,5·6+292,5·18) +7= 54·614+(1672+860+ +803,25+2025+3276+4225+2094+3890+2919+7696+7518+1647+5265)+7 = 33156+43890,25+7 = 77053,25.

Определим достаточное условие сходимости (35), обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений. Для этого воспользуемся формулой (36):

Для :

= 2

A = 2·2· · (76-λ) · 10 + · = 304 · (76-λ) + 23104.

Для :

A = 2·2· · (86-λ) · 8,5 + · = 344 · (86-λ) + 29584.

Приравняем  данные выражения и решим полученное уравнение:

304 · (76-λ) + 23104= 344 · (86-λ) + 29584

23104– 304·λ + 23104 = 29584– 344·λ + 29584

46208– 304·λ =59168– 344·λ

λ·(344– 304) = 59168–46208

40·λ =12960

λ =324

Подставим полученное значение в первое уравнение, и получим:

A = 2·2· · (76-324) · 10 + · = -75392 + 23104= -52288< 0.

 

 

 

 

Заключение

В ходе выполнения работы был изучен обобщенный алгоритм нахождения и процедура построения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния на примере подшипников качения.

В первом практическом задании мы построили  график разделяющей плоскости, на котором  изображены области диагнозов исправного и неисправного состояния , разделяющая функция и соответствующий ей весовой вектор.Для определения значения разделяющей функции мы нашли все компоненты весового вектора, т.е.  весовые коэффициенты, и, воспользовавшись формулой (7) получили результат f(x)= 50045.

Во втором практическом задании мы предположили, что векторы объектов принадлежат  объединенной области диагнозов, и  на основании этого составили выражения для двух последующих компонентов весового вектора. Приравняв их, определилидостаточное условие сходимости процесса, обеспечивающее приближения к точному решению, при наличии исправлений значений. Расчет показал, что корректировка весового вектора проведена верно, т.к. A= -52288< 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1) Трофимов  А.А.: Курс лекций по курсу «Методы  технической диагностики и конструирования»

2) Голубков  В.А.: «Методы технической диагностики»: методические указания к выполнению  практических работ № 7-13: С.-Петербург, 2006