Линейное программирование

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными произведениями целевой функции:

=

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (3;4) с началом координат.

3. Строим линию уровня, которая является перпендикуляром вектора градиента.
4. Далее будем передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. При минимизации целевой функции движение линии уровня будем осуществлять в противоположном направлении градиента. В точке С достигается min целев. функции. Для нахождения координат этой точки решим систему из уравнений двух прямых, дающих в пересечении точку максимума:

 

Получаем и . При этих значениях min f () = 3+4

максимальное значение - отсутствует (функция неограниченна сверху на ОДР). С помощью надстройки ЕХСЕL «Поиск решения" минимум целевой функции, также как и при использовании графического метода. Максимум найти не удается (сообщается, что результат не сходится); в таблице помещено только одно из возможных значений.

Ответ: min f () = 3+4

 

 

Задание 3

Хозяйственный отдел крупного больничного комплекса использует за год 900 упаковок моющего средства «Comet» весом 400 г.

Стоимость заказа – 200 руб., стоимость хранения одной упаковки в год – 2 руб. 60 коп. Доставка заказа осуществляется в течение трех дней. Хозяйственный отдел работает 300 дней в году.

? Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение:

Дано:

T = 300 дней;

М = 900шт/год;

h = 2,6 руб./шт;

K = 200 руб.;

t = 3 дня.

Определить: Qопт, издержки, уровень повторного заказа, число циклов за год, расстояние между циклами.

Решение.

1. Количество единиц в одной поставке:

 

2. Общие издержки за год:

 

 

3. Строим график общих годовых затрат с помощью таблицы:

Из таблицы и графика очевидно выполнение характеристических свойств оптимального размера партии

4. Частота поставок (количество поставок за год):

 

5. Периодичность поставок (интервал между поставками):

 

то есть одна поставка происходит каждые 61 дней.

6. Точка заказа:

 

Каждый раз, когда остается 3 ед, делается новый заказ на 372 ед.

График циклов изменения запасов построим исходя из данных таблицы:

 

T, дни	Запас	Пояснения
0 1 2 2 3 4 4	372 3 0 372 3 0 372	Уровень запасов Точка заказа Запас исчерпан Уровень запасов Точка заказа Запас исчерпан Уровень заказов

 

 

График циклов изменения запаса

 

 

 

Ответ: оптимальный объем заказа = 372 ед; годовые расходы на хранение запасов = 967,47 руб; период поставок = 124 дней; точку заказа = 3 ед.

 

 

 

Задание 4

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно λ , а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, – Тср мин (значения λ и Тср по вариантам приведены в таблице).

Вариант	Параметр λ	Параметр Тср=1/μ
4.3	16	10

 

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

У к а з а н и е. Для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации используйте методы теории массового обслуживания. При моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу решите с помощью средств MS Excel.

С необходимым теоретическим материалом и примером решения подобной задачи можно ознакомиться в [1, с. 108–109].

Решение:

Рассчитаем по приведенным ниже формулам основные показатели системы для условий задачи. Это удобно сделать в MS Excel (рис. 4.1.).

Видно, что СМО в значительной мере перегружена: из двух мастеров занято в среднем около 1,5, а из обращающихся в мастерскую рабочих около 53% остаются необслуженными.

Из графика на рис. 4.2. (Мастер диаграмм Excel /Точечная) видно, что минимальное число каналов обслуживания (мастеров), при котором вероятность обслуживания работника будет выше 85%, равно n = 3.

1. Вероятность отказа в обслуживании

 

 

2. Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена,

 

3. Абсолютную пропускную способность А получим, умножая интенсивность потока заявок λ на В:

 

4. Среднее число занятых каналов

 

 

Рис.4.1.Расчет характеристик СМО

Рис.4.2.График вероятности отказа в обслуживании

Вывод:

1. Основные характеристики работы бухгалтерии как СМО с отказами:

Вероятность отказа в обслуживании рабочего в бухгалтерии: ротк ≈ 52,2%

Относительная пропускная способность бухгалтерии: В ≈ 47,8%

Абсолютная пропускная способность: А ≈ 8,6 рабочих в час

Среднее число занятых бухгалтеров: М ≈ 1,4

2. Если в бухгалтерии начнет работать 9 бухгалтеров, то вероятность в обслуживании будет выше 85%.

 

 

Задание 5

Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром μ , а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), – закону Пуассона с параметром λ .

Значения параметров λ и μ по вариантам приведены в таблице.

Вариант	Параметр λ	Параметр μ
5.3	1,8	0,5

 

Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение:

Имитационный эксперимент проведем с использованием MS EXCEL

Рис.5.1 15 реализаций случайных величин Х и У

Вводим значения параметров данных законов распределения и λ=1,8 в ячейки В1 и В5

Получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской):

В ячейку В3 вводим формулу: =60*(-1/$B1)*LN(СЛЧИС())

Копируем эту формулу в ячейки С3:Р3

 

Получим 15 реализаций случайной величины У (число клиентов, поступающих в единицу времени):

В ячейку В7 вводим формулу: =60*(-1/$B5)*LN(СЛЧИС())

Копируем эту формулу в ячейки С7:Р7

 

Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин):

В ячейку В9 вводим формулу: =В7 (время прихода 1-го клиента)

В ячейку С9 вводим формулу: =В9+С7 (время прихода 2-го клиента)

Копируем эту формулу в ячейки D9:Р9 (время прихода следующего клиента)

 

Для контроля генерации псевдослучайных чисел вводим:

В ячейку 1 вводим формулу: =60/В1

В ячейку 3 вводим формулу: =СРЗНАЧ (В3:Р3)

В ячейку 5 вводим формулу: =60/В5

В ячейку 3 вводим формулу: =СРЗНАЧ (В7:Р7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие/ под ред А.Н.Гармаш.-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

2. Орлова И.В., половников В.А. Экономико-математическое методы: Компьютерное моделирование: учебное пособие/ под ред. И.В.Орловой-3-е изд., перераб. и доп..-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач: учебное пособие/ под ред И.В.Орловой-2-е изд., исп. и доп..-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

4. Федосеев В.В. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров/под ред. В.В.Федосеева.-3-е изд., перераб. и доп.-М.: Юрайт,2012

5. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели [Электронный ресурс] : Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И .В. Орлова и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 304 с.

6. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д.М.Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 391 с

7. Хуснутдинов Р.Ш.  Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / Р.Ш. Хуснутдинов. - М.: НИЦ Инфра-М, 2013. - 224 с.

8. http://emm.ostu.ru/lect/lect2_3.html#vopros5

9. http://nashaucheba.ru/v55495