Экономико-математические модели

 

 

 

 

 

 

Экономико-математические модели.

 

Контрольная работа.

 

Вариант №8

 

 

 

                                                                                                      

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2013

 

Вариант 8

Задача №1

Дано:

Производственная функция вида .

Определить:

Основные характеристики технологии, описываемой данной функцией, а именно: средние и предельные эффективности использования ресурсов, предельную норму взаимозамены ресурсов, эластичность выпуска по ресурсам.

Решение

а) Средняя эффективность ресурса . Для данной функции

б) Предельная эффективность ресурса . Для данной функции

в) Предельная норма эквивалентной взаимозамены двух ресурсов в точке Х⁰:

   

Для данной функции

 

г) Эластичность выпуска от затрат ресурсов.

. Для данной функции

Задача №2

Дано:  
Предложение денег осуществляется по формуле: M = 200 + 5i.

Скорость обращения  денег (V) равна 5 оборотов за период.

Реальный доход за период – 1000 ед..

Спрос на деньги по мотиву предосторожности в реальном выражении: lпр = 0,05Y.

Реальный спрос на деньги как имущество: lим = 50 – 3i.

Уровень цен  Р = 1.

Определить:

• Уравнение линии LM .
• Равновесную ставку процента.

Решение:

1. Линия LM – это графическое отображение совокупности всех комбинаций  (Y, i), которые при заданном номинальном количестве денег и уровне цен  
   обеспечивают равновесие на денежном рынке. Уравнение линии LM отражает взаимосвязь двух переменных − Y и i − и выводится из условия равновесия на рынке денег.

Запишем условие равновесия на рынке денег в реальном выражении:  
M/P = l_сд + l_пр + l_им , и подставим в него данные из условия задачи:

 М = 200 + 5i, Р = 1,

lпр = 0,05Y;

lим = 50 - 3i.

Получим:

 

Выражая i через Y или Y  через i, получим уравнение линии LM:

2. Подставляя в уравнение линии LM данное нам в условии задачи значение  
   Y = 1000 ед. благ, получим значение равновесной ставки процента:  
   

 

Задача №3

Дано:  
Технология производства представлена производственной функцией:  
Y = √K + 3√N, где N – объем используемого труда, K – объем используемого капитала. Предприниматели используют 4 единицы капитала.

Определить:

Неоклассическую и кейнсианскую функцию спроса на труд.

Решение:

а) В неоклассической  концепции спрос на труд со стороны предпринимателей определяется исходя из условия максимизации прибыли. Максимум прибыли достигается тогда, когда предельный продукт труда равен ставке реальной  
заработной платы: .

Исходя из условий  задачи, определим предельный продукт труда, учитывая, что предприниматели используют 4 единицы капитала:   
dY/dN = 3/2√N = 3/2√N.

Запишем условие максимизации прибыли: 3/2√N = w, откуда N^D =9/4 w² –  
неоклассическая функция спроса на труд.

б) В кейнсианской концепции  уровень занятости зависит от величины эффективного спроса Y₀, который определяется исходя из условий совместного равновесия на рынке благ и денег. Поэтому функция спроса на труд в  
кейнсианской концепции выводится непосредственно из производственной функции: N^D = N^D(Y).

Исходя из условий задачи получим, что

–кейнсианская функция спроса на труд.

 

Задача №4

Дано:

Взаимосвязи отраслей в  двухотраслевой экономике отражены в таблице (млрд.руб):

	Отрасль 1	Отрасль 2	КП
Отрасль 1	40	30	50
Отрасль 2	40	20	20
ДС	40	30

Определить:

• Коэффициенты прямых затрат (коэффициенты матрицы А)
• Записать основные уравнения модели межотраслевого баланса

 

 

Решение

 

Коэффициенты прямых затрат (величины a_ij) в модели межотраслевого баланса рассчитываются следующим образом:

a_ij = x_ij / X_j , i, j = 1, 2,...,n.

Основные уравнения  модели межотраслевого баланса имеют  вид:

, i  = 1…n.

В условиях задачи:

x₁₁ = 40, x₁₂ = 30, x₂₁ = 40, x₂₂ = 20, Y₁ = 50, Y₂ = 20, Z₁ = 40, Z₂ = 30.

X₁ = x₁₁ + x₁₂ + Y₁ = 40 + 30 + 50 = 120,

или

X₁ = x₁₁ + x₂₁ + Z₁ = 40 + 40 + 40 = 120.

X₂ = x₂₁ + x₂₂ + Y₂ = 40 + 20 + 20 = 80,

или

X₂ = x₁₂ + x₂₂ + Z₂ = 30 + 20 + 30 = 80.

Тогда:

а₁₁ = x₁₁/X₁ = 40/120 = 0,33,

а₁₂ = x₁₂/X₂ = 30/80 = 0,375,

а₂₁ = x₂₁/X₁ = 40/120 = 0,33,

а₂₂ = x₂₂/X₂ = 20/80 = 0,25.

Тогда основные уравнения  модели МОБ принимают вид:

X₁ = 0,33X₁ + 0,375X₂ + Y₁

X₂ = 0,33X₁ + 0,25 X₂ + Y₂ .