Имитационное моделирование в среде ms excel

• множество значений характеризует одну особь (объект) в разные моменты ее жизни, в разных состояниях (индивидуальная, онтогенетическая или временная, аллометрическая динамика),
• множество значений характеризует индивидуальные особенности особей одного возраста (статуса) (внутригрупповая, аллометрическая изменчивость),
• множество значений характеризует особей разного возраста (межгрупповая или “групповая онтогенетическая” изменчивость, динамика),
• множество значений характеризует отличия особей из разных популяций (межпопуляционная, географическая или пространственная изменчивость),
• множество значений характеризует отличия особей из серии выборок, испытывающих действие разных доз внешнего фактора (факториальная изменчивость).

Исследование природы переменных создает основу для последующих этапов моделирования в виде двух таблиц: в одной представлена характеристика всех переменных, в другой – исходная матрица (таблица) реальных значений переменных, полученных в природе или эксперименте. Структура будущей модели во многом предопределяется структурой матрицы эмпирических данных.

 

Типы переменных

Не все модельные переменные играют одинаковую роль в построении модели. Обычно указывают на три функционально различных группы (Акоф, Сасиени, 1971, с. 81; Суходольский, 1972, с. 373; Славин, 1989, с. 43–44; Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 53–54; Боровиков, Боровиков, 1997, с. 530):

— независимые (управляющие, движущие, вынуждающие, экзогенные);

— зависимые (управляемые, состояния, местоположения, эндогенные);

— скрытые переменные (неизвестные, внутренние, фиктивные, латентные).

В этой классификации нет четкой грани между исходными переменными (наборами значений, полученных в природе) и модельными переменными (наборами значений, вычисляемых в процессе моделирования). К тому же более удобно, на наш взгляд, представление типов переменных в форме дихотомического дендрита (Угольницкий, 1999, с. 18). Модифицированная типология переменных в рамках имитационной модели выглядит следующим образом (рис. 2.4).

Наблюдения поставляют ряды чисел – реальные (внешние, исходные, эмпирические, наблюдаемые, неуправляемые) переменные. По отношению к объекту исследования некоторые переменные, характеризующие среду, будут независимыми (например, суточная динамика температуры), другие, характеризующие состояние объекта, фактически, причинно оказываются зависимыми от первых (например, уровень метаболизма животных). Значения внешних переменных в пределах имитационной системы никак не изменяются, они характеризуют состояние среды, влияющей на объект исследования, и состояние этого объекта. Эти значения получены эмпирическим путем и известны еще до начала моделирования (хотя обычно модель требует проведения дополнительных исследований). Из них формируется матрица эмпирических данных.

В рамках имитационной системы независимые реальные переменные служат основой для расчета зависимых модельных переменных. Зависимые реальные переменные служат основой для настройки параметров модели, а также для оценки близости модели к прототипу.

 

Уравнениями имитационной модели вычисляются другие ряды чисел – модельные (внутренние, расчетные, управляемые) переменные; при этом используются значения реальных независимых переменных, а также значения других модельных переменных. Если каждой из них в действительности соответствует реальная зависимая переменная, количественные наблюдения, то эти модельные переменные следует назвать явными. Они используются для настройки параметров модели и для проверки ее адекватности.

Помимо названных, имитационные модели содержат скрытые переменные (скрытые модельные переменные). Такое название появилось потому, что эти характеристики не регистрируются в природе и в силу этого в рамках модели скрыты от прямого контроля со стороны реальных данных. Для них не существует аналогов в рядах натурных наблюдений из-за невозможности, сложности или высокой стоимости сбора данных (хотя предполагается, что такой характеристикой природный объект обладает). Смысл введения этих гипотетических переменных  состоит в попытке оценить значения тех экологических факторов или внутренних функций биосистем, которые трудно изучить непосредственно. Эти переменные играют важнейшую роль в моделировании, поскольку выступают заместителями неизвестной реальности, служат способом анализа природных явлений, дают возможность глубже проникнуть в структуру исследуемой системы. Латентные переменные всегда оказываются вычисляемыми, т. е. формально зависимыми. Однако чаще всего интересен как раз тот случай, когда оцениваются значения переменной, внешней по отношению к изучаемому объекту, определяются уровни неизвестного фактора среды,  т. е. значения, по существу, независимой переменной.

Наряду с важной гносеологической функцией, использование скрытых переменных таит большую опасность заблуждения. Дело в том, что ввод большого числа бесконтрольных компонентов модели приводит к ее полной (псевдо-) адекватности исходным данным, поскольку при неправильной организации модели внутренние переменные могут забирать на себя всю необъясненную изменчивость (см. раздел Скрытые переменные).

 

 

 

 

Описание параметров

Блок-схема, предопределяющая структуру модельных переменных, диктует и список модельных параметров. Определиться с составом параметров необходимо в первом приближении еще перед построением модельных формул, выполняя главное правило моделирования (см. следующий раздел). Модельные параметры сосредотачивают на себе весь смысл построения модели, это квинтэссенция теоретических представлений о динамике реальной системы, главная характеристика способа ее существования. Поэтому формирование блока параметров – самый ответственный этап в моделировании. Число параметров обычно меняется в процессе создания формул и при доводке модели до уровня приемлемой адекватности, однако общие ориентиры следует наметить заранее.

Кроме теоретических соображений о структуре реальной системы росту сложности модели препятствует ряд формальных ограничений. Вообще, чем больше уравнений и параметров представляют систему, тем более точной, “портретной”, оказывается модель (Розенберг, 1984, с. 30, 95; Перегудов, Тарасенко, 1989, с. 281–282). Однако общее пожелание формулируется так: “поменьше параметров”. Во-первых, не может быть эффективной настройка модели, содержащей более 10 параметров; в этом случае увеличивается количество разных решений одной и той же системы уравнений, а методов формального выбора лучшего решения не существует (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 56). Кроме того, для обеспечения достаточной точности имитации (ошибка прогноза менее 100%) в среднем каждое уравнение должно содержать менее 4-х параметров (Федоров, 1983, с. 21). Эти ограничения не означают, что модель должна быть “маленькой”, т. е. должна описывать ограниченное число переменных. Если каждый из модельных коэффициентов контролирует аналогичные процессы, происходящие в разных точках пространства с разными объектами или в разные моменты времени, то число переменных может достигать десятков и сотен. В частности, всего 4 параметров было достаточно для имитации динамики загрязнения в 16- камерной модели крупного водоема и лишь ограниченное число точек отбора проб в этом случае помешало увеличить число камер до нескольких десятков, причем без увеличения числа параметров (см. раздел Скрытые переменные).

Если система-оригинал имеет сложную структуру, то проблему включения многих параметров обходят, используя блочный принцип составления модели. Всю систему разбивают на относительно независимые блоки, состоящие из небольшого числа уравнений, отдельно настраивают параметры, а затем связывают в общую модель, часто через интерфейсные (внешние) переменные (Левченко, 1993, с. 311; Иванищев и др., 1989, с. 53–55). Пример такого синтеза показан в разделе Сети связей.

Еще один эффективный подход к описанию сложных систем состоит в том, чтобы последовательно строить преемственный ряд все более сложных моделей до момента удовлетворительного описания реальной системы (Галицкий, 1981, с. 104). При первоначально кажущейся большой сложности объект удается смоделировать, затратив меньшие усилия. Этот способ характерен для большинства представленных примеров.

Вообще говоря, чрезмерное количество параметров свидетельствует, скорее всего, о плохо продуманной структуре модели, слабо структурированной блок-схеме и смешении элементов разного уровня иерархии.

Помимо сказанного следует учитывать ограничение, связанное с неполнотой исследования, с обычным для экологии невысоким качеством натурных наблюдений (речь идет о “невоспроизводимости” наблюдений, а не о небрежности экологов). С одной стороны, значения параметров и строение модели подгоняются под выборочные данные, которые, понятно, есть лишь тень исследуемого объекта, но не он сам (Прицкер, 1987, с. 18), тогда как модель должна копировать не просто выборку, но объект исследования. С другой стороны, выборочные данные могут быть настолько фрагментарны, неполны, “загрязнены” стохастическим шумом, что настройка системы уравнений становится неразрешимой задачей (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 56). Тем не менее лучше построить неказистую модель, в попытке активизировать дополнительные размышления о своем объекте исследования, нежели пренебречь этой возможностью под гнетом тяжелого впечатления от неточных описаний: “атмосфера взаимосвязей” изученных показателей не менее информативна, чем конкретные числа!

 

 

 

Математическое описание модели

 

К этому этапу создания модели уже построена блок-схема преобразования потоков, описаны сами потоки (переменные), намечен состав параметров. Остается определить, каким образом эти потоки преобразуются, как система переходит из одного состояния в другое. Конструирование уравнений есть процесс установления соотношений между переменными и параметрами. Отдельные уравнения (математические выражения) модели соответствуют блокам блок-схемы и описывают процессы преобразования одних потоков в другие (обмен, передача, функциональная связь, темп) (Форрестер, 1971, с. 42; Меншуткин, 1993, с. 8).

Составление блок-схемы и воплощение ее в систему уравнений есть по существу “навязывание” представлений исследователя о происходящих процессах – структуре модели (Розенберг, 1984, с. 95). Цель моделирования в том и состоит, чтобы соотнести наши предположения, выраженные в форме модели, с поведением объекта исследования. Логика оформляется количественно и сопоставляется с реальностью. Моделирование как раз и “является эффективным средством исследования структуры”, направленным на то, чтобы стали “понятны причины связи между управляемыми и неуправляемыми переменными” (Акоф, Сасиени, 1971, с. 114, 83).

Имитационная модель может описывать как выборку объектов, так и временную динамику системы. В последнем случае важно определиться с порядком вычислений. Для этого организуется дискретный (чаще всего равномерный) ход времени, когда реально непрерывное течение времени разбивается в модели на множество отдельных моментов (периодов, промежутков). Реальные данные могут и не соответствовать каждому из этих шагов модели, важно другое, чтобы динамика реальной системы в целом отображалась в электронном аналоге. В течение одного промежутка времени (характерное время процесса) происходят модельные события — одновременное изменение всех переменных при условии постоянства внешних воздействий (Ляпунов, 1968, с. 70; Мастецкий, 1997, с. 10). Шаг за шагом система переходит из одного состояния в другое, текущее определяется предыдущим. Это значит, что в расчетах нового значения каждой переменной на i-м временном шаге используются те значения определяющих их переменных, которые они принимали на предыдущем, i–1-м временном шаге:

Y1i = a· X1i–1 + …;

Z1i = b·Y1i–1 + …; …

Все вычисления, проводимые на данном временном шаге, оказываются независимыми друг от друга, а полученные значения  — постоянными в течение этого периода. Такая пошаговая организация вычислений снимает проблему зацикливания (циклических ссылок между ячейками Excel). Техника составления формул и организации временной развертки показана в следующих разделах.

 

Главное правило моделирования

 

Как и при аналитическом моделировании, главная проблема создания имитаций состоит в конструировании модельных формул. Однако на этом их сходство и заканчивается. Цель аналитической модели – выразить закон явления. Цель имитационной модели – рассчитать параметры механизма конкретного явления. Поэтому требования к формулам имитационных моделей весьма специфичны – они обязательно ориентированы на фактический материал. Имитационная модель должна не просто математически описать объект, но описать его таким образом, чтобы вычислялись те же самые переменные, что наблюдались. На листе Excel нужно воспроизвести такую же структуру массива зависимых модельных переменных (YМj), что имеет массив зависимых реальных переменных (Yj). Это необходимо для последующей настройки модели. Понятно, что этот расчет должен базироваться на основе тех параметров (а1, а2, …), которые (на наш взгляд) и определяют содержание (механизмы) наблюдаемых  явлений.  Иначе  говоря,  модельная  формула должна, во-первых, выражать суть механизма явления, во-вторых, рассчитывать аналог матрицы исходных данных.

 

В этом и заключается главное правило составления модельных формул:

выразить известные переменные (Yj)

через неизвестные параметры (аj).

 

 

Как способов, так и технических приемов конструирования моделей может быть очень много. И все же личный опыт автора показывает, что широкий спектр экологических явлений можно количественно описать, опираясь лишь на три раздела математики: математическую статистику, алгебру, теорию графов. При этом большинство описаний использует именно алгебру, основы которой заложены в старших классах школы и понятны любому биологу. (В скобках надо заметить, что речь здесь идет не о примитивности описаний, а о создании основ для роста интереса к моделированию, к его использованию хотя бы в простых формах).

 

Пример с популяцией гадюки

В состав данных по повторному отлову меченых гадюк входят известные переменные mi, M0, ni. При этом переменные M0, ni являются независимыми, а mi – это реальная зависимая переменная. Модельные уравнения должны вычислять именно эту переменную (m'i) для того, чтобы иметь возможность сравнивать с реальностью (mi). В качестве неизменных параметров должны выступать значения начальной численности популяции N0 и уровень ежегодной смертности Nd; их предстоит подобрать в процессе настройки. Для упрощения задачи примем ежегодную численность и смертность в островной популяции гадюки неизменными, N=const, Nd=const. Теперь осталось построить модельные формулы.

 

Приемы составления формул