Аппроксимация функции методом наименьших квадратов с помощью MathCAD и электронных таблиц Microsoft EXCEL

 _{Нажмем комбинацию  клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате должны заполниться все ячейки интервала А88:В92 (см. Рис.10).}

 

_Рис.10

 

_{В ячейках А78:В82 введена формула: {=ЛГРФПРИБЛ(B6:B30;A6:A30;ИСТИНА;ИСТИНА)}.}

_{Сравнивая значения коэффициентов, полученных вручную  с табличными, видим отличие  в значении (он вычислен в ячейке А88). Это связано с тем, что функция ЛГРФПРИБЛ возвращает параметры для соотношения . То есть . Отсюда следует, что .}

_{Вычисление коэффициента представлено на рис. 11:}

 

                 _Рис.11

 

_{Рис.11. Вычисление коэффициента экспоненциальной зависимости}

_{В ячейке А87 введена формула =LN(A88).}

Построение графиков в Excel.

Выделим ячейки A6:B30, после этого обратимся к мастеру диаграмм. Выберем точечный график. После того как диаграмма будет построена, щелкнем правой кнопкой мышки на линии графика и выберем добавить линию тренда (соответственно линейную, экспоненциальную, полиномиальную второй степени).

Рис.12 График линейной аппроксимации.

 

Рис.13 График квадратичной аппроксимации.

   

Рис.14 График экспоненциальной аппроксимации.

 

_{Вывод : aнализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.}

5. Аппроксимация функции с помощью MathCAD

 

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится  к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных  данных, полученных в результате измерений  процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

 Линейная регрессия

 

Линейная регрессия в системе  Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и отсчетов Y функциями:

intercept(x,y) - вычисляет параметр а₁, смещение линии регрессии по вертикали. slope (x,y) - вычисляет параметр a₂, угловой коэффициент линии регрессии. Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x.

Функция corr(у,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона. Чем он ближе к 1, тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости (см. рис. 15)

 

 

Рис. 15

Полиноминальная регрессия

 

Одномерная полиномиальная регрессия  с произвольной степенью n полинома и с произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями:

regress(х,у,n) - вычисляет вектор S, в составе которого находятся коэффициенты ai полинома n-й степени; Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0).  Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии

y(x) = a1+a2*x+a3*x² (см. Рис16)

Рис. 16

 Нелинейная регрессия

 

Для простых типовых формул аппроксимации  предусмотрен ряд функций нелинейной регрессии, в которых параметры  функций подбираются программой Mathcad.

К их числу относится функция expfit(x,y,g), которая возвращает вектор, содержащий коэффициенты a1, a2 и a3 экспоненциальной функции

y(x) = a1 ^exp(a2 •x) + a3. В вектор g вводятся начальные значения коэффициентов a1, a2 и a3 первого приближения.(см. Рис 17)

Рис. 17

 

6. Расчет аппроксимаций  в Delphi.

 Код в Delphi.

 Результат в  Delphi.

 

 
Заключение

 

_{Анализ результатов  расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация (0,98) наилучшим образом описывает экспериментальные данные.}

_{Результаты для квадратичной аппроксимации полученные с помощью программы Delphi полностью совпадают со значениями полученными с помощью Excel и MathCAD . Это говорит о верности вычислений.}

 

Список используемой литературы.

 

Список используемой литературы.

 

1. Н. И. Саттарова, В.В. Беляев, Г.Б. Поспехов Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов направления 130300, СПб, 2009, 56 с
2. Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере / Под. Ред. проф. Н. В. Макаровой. М Финансы и статистика, 1997.
3. Информатика, Аппроксимация методом наименьших квадратов, методические указания, Санкт-Петербург, 2005.
4. Информатика, Аппроксимация методом наименьших квадратов, методические указания, Санкт-Петербург, 2005.