Алгоритм метода простой итерации при решении систем нелинейных уравнений

Оглавление.

1. Оглавление………………………………………………………………. 2
2. Введение…………………………………………………………………. 3
3. Метод простой итерации……………………………………………….. 5
4. Алгоритм метода простой итерации при решении систем нелинейных уравнений………………………………………………………………. 7
5. § 1. Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Turbo Pascal……………………………7
6. §2. Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Microsoft Excel…………………………11
7. Заключение………………………………………………………………..14
8. Литература……………………………………………………………….. 15

 

Введение.

Решение систем нелинейных уравнений является в общем случае задачей несравненно более сложной, нежели решение систем линейных уравнений. Не существует методов, которые гарантировали  бы успех решения любой такой  задачи.

Как и для отдельных  уравнений, наибольшую проблему представляет задача отделения решений (корней). Для системы уравнений с п неизвестными необходимо, во-первых, понять, сколько у нее решений, а во-вторых, выделить области n-мерного пространства, в каждой из которых есть одно и только одно решение, лишь после этого можно говорить о нахождении решений с заданной точностью (оцениваемой в соответствии с используемой метрикой).

Для отделения корней общих  методов, гарантирующих успех, не существует. Для системы с двумя неизвестными можно пытаться использовать геометрические построения. В реальных задачах, являющихся этапами моделирования, исследователь  обычно догадывается, где примерно находятся корни системы (или  по крайней мере тот корень, который  его интересует из содержательных условий  модели). Описанные ниже приемы, явно или неявно, исходят из того, что  задача отделения корней решена и  имеется достаточно малая часть  n-мерного пространства, в которой находится корень, надлежащий уточнению. Отметим, что уточнение корней ведется почти исключительно итерационными методами.

Часто для решения линейных и нелинейных задач алгебры используют приближенные методы, позволяющие найти  корни системы с заданной точностью. Эти методы представляют собой сходящийся итерационный процесс. Они не дают точного  решения задачи, однако отличаются несколько большим быстродействием  и порой из-за ошибок округления даже при использовании чисел  с двойной точностью могут  дать ответ точнее, нежели полученный прямыми методами

Цель работы: решить систему  нелинейных уравнений методом простой итерации и далее реализовать данный метод в различных программных средах.

Достижение поставленной цели потребовало решение следующих  задач:

• изучить методы, применяемые при решении систем нелинейных уравнений;

• разработать вычислительный алгоритм метода простой итерации;

• оставить программы решения систем нелинейных уравнений данным методом в среде Turbo Pascal, Microsoft Excel.

 

Метод простой  итерации

Система линейных уравнений  с р неизвестными обычно имеет вид:

 

где хотя бы одна функция  не линейная.

Для решения такой системы  в редких случаях можно применить  метод последовательного исключения неизвестных, который приводит решение  системы к решению одного нелинейного  уравнения с одним неизвестным  с последующей подстановкой.

Метод простой итерации применим к системам, которые предварительно приведены к виду

(1.1)

или, в векторной форме,

(1.2)

Пусть — начальное приближение. Последующие приближения в методе простой итерации находятся по формулам

(1.3)

или, в векторной форме,

(1.4)

Если последовательность векторов сходится к вектору , а функции  непрерывны, то вектор является решением системы (1.2). Для получения условий сходимости метода итераций введем в -мерном векторном пространстве какую-либо норму (например, кубическую, октаэдрическую или сферическую).

Теорема. Пусть для уравнения (1.2) и начального приближения выполнены условия:

1. для   из сферы

(1.5)

вектор-функция  удовлетворяет условию

(1.6)

где ;

2)

Тогда уравнение (1.2) в сфере (1.5) имеет единственное решение  , к нему сходится последовательность (1.4) и погрешность метода оценивается неравенством

(1.7)

Сходимость метода итераций считается хорошей, если .

Приведем достаточное  условие, обеспечивающее выполнение неравенства (1.6) в кубической норме. Сфера (1.5) в  кубической норме является -мерным кубом с центром в точке :

(1.8)

Предположим, что в кубе (1.8) функции  имеют непрерывные частные производные Неравенство (1.6) будет выполнено, если удовлетворяют в кубе (1.8)[2].

(1.9)

 

Алгоритм метода простой итерации при решении  систем нелинейных уравнений

§ 1. Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Turbo Pascal

Система программирования Турбо  Паскаль представляет собой единство двух в известной степени самостоятельных  начал: компилятора с языка программирования Паскаль (язык назван в честь выдающегося  французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662)) и некоторой  инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности  создания программ. Для краткости  условимся в дальнейшем называть реализуемый компилятором язык программирования Паскаль - языком Турбо Паскаля, а  разнообразные сервисные услуги, представляемые программной оболочкой, - средой Турбо Паскаля.

Среда Турбо Паскаля - это  первое, с чем сталкивается любой  программист, приступающий к практической работе с системой. Если Вы по каким-либо причинам не собираетесь писать собственные  программы, можно пропустить эту  главу, в которой приводятся минимальные  сведения об основных приемах работы в среде Турбо Паскаля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [-1,1] с точностью 

Решение в Turbo Pascal см. рис. 1 и рис. 2.

Рис. 1 – Метод простой  итерации в Turbo Pascal

Рис. 2.2 – Метод простой  итерации в Turbo Pascal

Пример 2.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [0;1] с точностью 

Решение в Turbo Pascal см. рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3 - Метод простой итерации в Turbo Pascal

Рис. 2.4 – Метод простой  итерации в Turbo Pascal 

§2. Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Microsoft Excel

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) — программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X, язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире.

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [-1,1] с точностью 

Решение в MS Excel см. на рис. 5 и рис. 6

Рис. 5– Метод  простой итерации в Excel

Рис. 2.12 – Метод  простой  итерации в Excel

 

Заключение.

В процессе создания курсовой работы были решены системы нелинейных уравнений методом простой итерации, а также был реализован данный метод в различных программных средах.

Достижением поставленной цели потребовало решение следующих  задач:

• изучение метода простой итерации, применяемый при решении систем нелинейных уравнений;
• создание вычислительного алгоритма метода простой итерации;
• составление программ решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в среде Turbo Pascal, Microsoft Excel.

Этот метод отличается от других тем, что по сравнению с  другими методами, он является одним  из наиболее простых методов определения  корней системы нелинейных уравнений.

Анализ результатов показывает, что программы работают правильно  и верно находят корни системы  нелинейных уравнений.

 

Литература.

1. Лапчик, М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. М.П.Лапчика. — 2-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 384 с.
2. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. С 23 пособие / Под ред. П. И. Монастырского.—2-е изд. —Мн.: Университетское, 2000.—311 с.
3. Высшая документация – Online документация [электронный ресурс]. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/XLS
4. Высшая документация – Online документация [электронный ресурс]. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Turbo_Pascal