Использование вопросов математики на уроках геометрии

Переход первобытного общества от охоты к земледелию, а затем  развитие земледелия, ремёсел и торговли вызвали практическую необходимость  измерять расстояния и находить площади  и объёмы разных фигур. Из истории  известно, что примерно 4000 лет назад  в долине реки Нил образовалось государство  Египет. Правители этого государства - фараоны  установили налоги за земельные  участки на тех, кто ими пользовался. В связи с этим требовалось  определять размеры площадей участков четырёхугольной и треугольной  формы. Река Нил после дождей разливалась  и часто меняла своё русло, смывая границы участков. Приходилось исчезнувшие  после наводнения границы участков восстанавливать, а для этого  вновь измерять их. Выполняли такую  работу лица, которые должны были уметь  измерять площади фигур. Появилась  необходимость изучить приёмы измерения  площадей. К этому времени и  относят зарождение геометрии. Слово  «геометрия» состоит из двух слов: «Ге», что обозначает в переводе на русский язык  земля, и «метрео» - мерю. Значит, в переводе «геометрия» означает землемерие. ²¹

В своём дальнейшем развитии наука геометрия шагнула далеко за пределы землемерия и стала  важным и большим разделом математики. В геометрии рассматриваются формы тел, изучают свойства фигур, их отношения и преобразования.

Как наука геометрия оформилась к 3 в. до нашей эры благодаря трудам ряда греческих математиков и  философов. Наибольшая заслуга в  этом принадлежит Евклиду, жившему  в Александрии. Он, опираясь на исследования и выводы своих предшественников – Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Евдокса  и других древнегреческих учёных, привёл в систему накопленные  по геометрии сведения, дополнил их своими исследованиями и открытиями, а затем последовательно изложил  в 13 книгах, назвав их «Начала». Его труд на протяжении свыше 2000 лет служил учебным пособием по геометрии. Его книги изучали все великие математики.²²

Высказывания о геометрии: «Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии». (Пушкин).

«Малой она родилась, но, взрослея, росла с каждым часом. Ныне, идя по земле, сотрясает вокруг целый мир» (Гомер)».

«Не знающий геометрию да не войдёт в академию» (Платон) и другие, разъясняя их смысл.

Про геометрические инструменты.

К  древнейшим инструментам относятся – циркуль и линейка. Слово «линейка» происходит от арабского «аль – идада» - линейка.  Употребление линейки берёт своё начало с незапамятных времён.  «Циркуль» - от латинского слова circulus –круг. Циркуль был изобретён значительно позже в Древней Греции.

Пример. Точка

«Точка есть то, что не имеет части» - Евклид.

«Точка, движимая с бесконечной скоростью моментально образует линию» - Лейбниц.

Точка – один из любимых  знаков древности, писцы расчленяли им свои тексты. Точка – одно из уцелевших  слов, которыми издавна пользовались славяне. Мир точек многолик и многообразен. И будь создан музей для них, то в нём предстали бы во всей красе и точки -  слова, и точки – знаки, и точки – вещи. Никто не пробовал классифицировать точки, а зря. Есть точка торговая и точка огневая, точка отправления и точка отправная, точка кипения и точка замерзания, точка роста и мёртвая точка, точка росы и критическая точка пара, собственная точка зрения, точка перегиба.

У математиков любая точка  незрима и невесома, у механиков  она уже имеет вес, а точка  триангуляционная у геодезистов  обладает не только весом, но и видна  за десятки километров. Без точки  человеку было бы неудобно ни умножать, ни делить; без неё не было бы двоеточия  и многоточия, ни вопросительного, ни восклицательного знаков. Без  точки  нельзя было создать азбуку Морзе; модель Солнечной системы. Не будь точки, как  существовали бы задачники по математике, в основе которых заложены точки  А, В и С, откуда бесконечно идут, летят поезда, самолёты. Точка –  родоначальник множества прекрасных вещей и открытий. Именно с точки  начинается простейший рисунок, при  создании которого мы приговариваем: «Точка, точка, запятая…»

С точки начинается атом, электрон. Точка – всему начало и всему венец. С точки начинается запятая и ей заканчивается любой  капитальный труд. Любая точка  на Земле имеет свою долготу и  широту. Точка на карте – город  или посёлок; точка в небе –  далёкая звезда. И поэзию пленила  математическая точка.

«   Я – невидимка. В том вся суть моя,

что в представлении дана лишь я…

Представишь ты себе меня –  я вот!

И без меня ничто здесь  не пройдёт.

Во всех вещах могу я  воплотиться,

и всё, что есть, всё для  меня – граница».

В.Литцман.

 

Пример. Площадь. S

 

Ещё 4 – 5 тысяч лет назад  вавилоняне умели находить площадь  прямоугольника, трапеции в квадратных единицах. Квадрат всегда служил эталоном при измерении площадей благодаря  многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность. Квадраты легко строить, ими можно заполнять плоскость  без пробелов.  (В Китае мерой  площади был прямоугольник). Древние  египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и  мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника, трапеции: основание  треугольника делилось пополам и  умножалось на высоту; для трапеции – сумма параллельных сторон делилась  и умножалась на высоту.

В своих «Началах» Евклид не употреблял слово «площадь». Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, или равновеликие.  Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Многие рукописи не дошли до нас. В сохранившихся рукописях можно найти способы нахождения площадей у разных фигур, но в них есть ошибки. Но мастера при строительстве обладали довольно основательными знаниями по геометрии. Без таких знаний сооружение прекрасных зданий, как храм Василия Блаженного в Москве, вряд ли можно было совершить.

Формула Герона.  Герон  Александрийский. Годы его жизни  точно не установлены 3 век до н.э  или 1 век н.э? Хотя формула и носит  название Герона, но на самом деле она  была установлена ранее – Архимедом. Интересна задача Герона: Найти все  треугольники с целочисленными сторонами, площади которых тоже выражаются целыми числами. Среди прямоугольных  треугольников – это все треугольники Пифагора со сторонами 3,4,и5; 5,12 и 13; 7, 24 и 25 и т.д. Частные случаи решения  известны, например: 7, 15 и 20; 9, 10 и 17; 14, 13 и 15 и другие.

Пример. Теорема Пифагора.

Прокл в своём комментарии  к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принёс в жертву быка». То же подтверждает другой греческий историк – Плутарх (1 век). На основе этих данных долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и называли её поэтому «теорема Пифагора». Однако установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

О том, что треугольник  со сторонами 3; 4; и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим отношением для построения прямых углов при  строительстве. В Китае предложение  о квадрате гипотенузы было известно за 500 лет до Пифагора. Эта теорема  была известна и в Древней Индии.

Знакомство с биографией Пифагора, с пифагоровыми числами.

Несколько старинных задач  на теорему Пифагора.

1. Задача арабского математика, 11 век.

«На обоих берегах реки растёт по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?»                                                                                                                       

Ответ: 20 локтей.     (Локоть равен расстоянию от локтя  до конца среднего пальца)

2. Задача индийского учёного Бхаскара, 1114 год.

  «На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте 3 футов от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярен течению реки). Найти высоту тополя.

3. Из древней рукописи.

  «Найти высоту треугольника, основание которого 15, а боковые стороны 14 и 13».

Теорема Пифагора издавна  широко применялась в разных областях науки, техники, жизни.  О ней писали  римский архитектор Витрувий, греческий  писатель Плутарх, греческий учёный Диоген и многие другие. Легенда  о том, что в честь открытия своего Пифагор принёс в жертву быка или сто быков, служила поводом  для юмора в рассказах, стихах. Немецкий писатель Шамиссо, 19 век, писал:

«Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора,

Верна, как и в его  далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и  сожженье

За света луч, пришедший  с облаков.

Поэтому всегда с тех самых  пор,

Чуть истина рождается  на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету  помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор».

 

На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора. Доказательство считалось  в кругах учащихся средних веков  очень трудным и называлось иногда – ослиный мост или бегство  убогих, так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьёзной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии преодолеть т. Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста. Чертёж, сопровождающий доказательство, ученики называли ветряной мельницей. Ученики составляли стишки вроде: Пифагоровы штаны во все стороны равны, рисовали карикатуры.

Как помогла теорема Пифагора? Случай из следственной практики:

Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение через окно. Осмотр показал, что подоконник находится  на расстоянии 124 см от земли. Поверхность Земли на расстоянии 180 см от стены покрыта густой порослью, не имевшей повреждений. Возникло предположение о том, что преступник,  проникая через окно, как-то преодолел расстояние  между наружным краем поросли и подоконником. С помощью теоремы Пифагора вычислили это расстояние 219 см. Ясно, что преодолеть самому его нельзя без лестницы, но её не нашли. Следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, что и подтвердилось. Так помогла геометрия.

3.2 Основные  принципы и требования к отбору  историко-научного материала для  включения в процесс обучения  математике

 

Рассмотрим принципы отбора и конкретные требования, предъявляемые  к историко-научному материалу.

Среди принципов отбора историко-научного материала для включения в  содержание образования Л.Я. Зорина²³ называет следующие:

• создание мотивации к познанию. Историко-научный материал привлекается для создания учащихся мотивации, убежденности в необходимости новых знаний;
• формирование научного мировоззрения. Историко-научный материал привлекается, чтобы убедить учащихся в познаваемости мира; показать эволюцию идей и понятий, проходящих через всю науку;

- раскрыть кризисные ситуации  в науке, показать, как они возникают,  как, преодолеваются;

• формирование научного мышления в процессе обучения. Историко-научный материал необходим, чтобы проиллюстрировать новый этап, в научном мышлении, связанный с введением нового метода исследования, нового метода рассуждений, познакомить учащихся с историей так называемых случайных открытий, историей несостоявшихся открытий; дать представления об общих исканиях, стремлениях, и в особенности, заблуждениях, через которые человеку нужно пройти по пути к истине;
• формирование творческого мышления в процессе обучения. Историко-научный материал помогает раскрыть, истолковать возникновения научных проблем, внесших коренные изменения в дальнейшее развитие мира науки, ход решения проблемы, метода решения проблемы;
• формирование нравственных качеств учащихся. Историко-научный материал помогает раскрыть учащимся необходимые качества творческой личности.

Рассмотрим конкретные правила  отбора историко-научного материала  для использование его в процессе обучения. Выделяются следующие требования:

1. Органическое включение историко-научного материал в курс математики, т.е. историко-научный материал привлекается в зависимости от цели и содержания изучаемого вопроса, требующего использования исторических сведений;²⁴
2. Целенаправленность в изложении историко-научного материала в курсе математики, его использование отвечать целям и интересам успешного изучения учебного материала. Иначе говоря, исторические сведения не должны быть использованы сами по себе, а должны подчиняться учебной функции, которая служит доминантой в процессе обучения.²⁵
3. Доступность в изложении историко-научного материала в курсе математики. При сообщении историко-научного материала надо помнить, что общее отвлеченное дается всегда труднее, чем частное и наглядное, и вводить это общее и отвлеченное лишь постепенно, осторожно, не обременяя учащихся непосильным материалом.²⁶
4. Эмоциональность в изложении историко-научного материала в математике. Эмоциональное изложение позволит стимулировать познавательную деятельность школьника.