Задачи в обучении математике

* умение выделять основную  идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких  задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу;

* умения по самооценке  своей деятельности, самоконтролю.

Как можно формировать умение анализировать условие задачи? Чтобы научиться анализировать условие задачи, анализ задачи должен стать целью обучения, что требует выполнения специальных заданий не по решению задач, а только по анализу их условия. По меньшей мере, этап анализа условия задачи должен быть специально выделен в процессе решения, и учащиеся должны иметь ориентировочную основу проведения этапа анализа. Анализу условия задачи следует обучать во всех разделах школьного курса математики: в арифметике, алгебре, геометрии. Как уже было отмечено, анализ условия задачи состоит в выделении данных и искомых, в выяснении значения каждого слова, в выяснении структуры задачи: какая и сколько ситуаций, объектов рассматриваются, какие величины входят в рассмотрение, каково соотношение между величинами в данной задаче, какая информация имеется в условии задачи в скрытом виде.

 

2.2. Краткая запись условия и  решения задачи.

Обучение краткой записи условия задачи - это и есть обучение анализу условия. Краткая запись- это модель текста задачи, материализованная форма проведения действия анализа условия. Этому следует обучать специально. Наиболее распространенной формой записи условия является запись отдельных ситуаций, например, следующим образом:

I день - 273 стр.

П день - в 7 раз меньше

III день - на 45 стр. больше

а также в виде чертежей, диаграмм, рисунков (см. рис.).

Рис. Краткая запись условия:

Дано: АВС, АВ = ВС, AD=DВ, BE = EC.

Доказать: АЕ=CD - это тоже материализованная форма анализа условия задачи, в которой понятия заменены их определениями.

При решении каждой задачи, способ решения которой неизвестен, используются синтетический и аналитический методы - происходит встречный процесс ot данных к требованию (синтез) и от требований к данным (анализ). На каком-то шаге устанавливается связь этих двух процессов - находится недостающий элемент, отношение - задача решена.

К какому бы разделу математики задача ни относилась, при ее решении происходит получение следствий из условия, какие-то условия заменяются эквивалентными, переформулируются, приобретают более удобный для операций вид, какие-то условия связываются. Установление связей между данными происходит не хаотично, а после выяснения отношений между данными под воздействием промежуточных и окончательных целей. Нахождение новых величин, отношений носит целенаправленный характер. Алгоритмов обучения творчеству нет, однако встречному движению от данных к требованию и от требования к условию можно обучать. Можно специально обучать получению следствий, переформулированию, решению задач с конца, другим эвристикам, демонстрируя их, акцентируя на них внимание, подбирая специальные задания.

Формированию умения анализировать условие задачи способствует выполнение обратных заданий: составить задачу по краткой схеме.

Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие полностью понято. Самоконтролем на этом этапе являются пересказ условия, подсчет данных и требования, проверка схем.

При осуществлении поиска основной идеи задачи продолжается выявление скрытых отношений, структуры задачи: рассматриваются под удобным углом зрения данные и требования, происходит сопоставление решаемой задачи с ранее решенными, конструируется модель задачи в соответствии с выдвигаемой гипотезой, осуществляется мысленный эксперимент, привлекаются различные эвристики.

В чем заключается деятельность по самоконтролю при анализе условия задачи? При анализе условия, как известно, осуществляется следующая деятельность: выделение данных и требований, выяснение смысла терминов; выделение объектов, ситуаций и величин, их характеризующих; моделирование ситуаций с помощью таблиц, чертежа, краткой записи условия задачи.

При этом самоконтроль осуществляется при пересказе текста задачи своими словами для выяснения, не забыто ли какое-либо данное, каждое ли слово в тексте понято. Если условие задачи моделируется с помощью чертежа, таблицы, то необходимо проверить, каждому ли данному нашлось место в этой модели. Для того чтобы проверить, правильно ли понято условие, можно рекомендовать восстановить текст задачи по краткой записи, модели, чертежу.

Вся эта деятельность направлена на то, чтобы выяснить, что задача понята целиком и правильно, структура задачи выделена и удерживается в памяти. Это обеспечивается обучением учащихся проводить анализ условий задачи.

При выдвижении гипотезы относительно возможного решения самоконтроль заключается в том, что решающему необходимо доказать себе, что выбор пути сделан правильно: что с помощью выбранной теоремы, правила, приема, определения можно довести решение задачи до логического конца; что задача подходит под определенный тип, предписание для которого имеется; что выбранная эвристика позволяет наметить ход решения задачи. Если ситуацию нельзя подвести под известный прием, если использованная эвристика заводит в тупик, если использованная теория не позволяет довести решение задачи до конца, необходимо отказаться от намеченного плана и продолжить анализ условия и привлечение новых идей.

Можно ли обучать учащихся самоконтролю на этом этапе?

Деятельности самоконтроля на этапе поиска плана решения задачи можно обучать, раскрывая эту деятельность, показывая, как учитель выходит из затруднительных ситуаций, которые возникают при поиске решения задачи. На этапе реализации полученного решения деятельность решающего состоит в применении выделенных эвристик, приемов, правил, определений, и при этом самоконтроль проявляет себя как пошаговый, пооперационный самоконтроль. Пошаговому контролю ученик обучается в рамках формирования различных приемов учебной работы и умственных действий, при обучении использованию определений, правил, теорем.

На ранее перечисленных этапах решения задачи самоконтроль проявляет себя как естественная неотрывная составляющая поисковой деятельности, которая может и не осознаваться решающим.

Последнему этапу решения задачи - проверке и исследованию полученного решения присвоен особый статус этапа, на котором осуществляется самоконтроль.

В методике преподавания математике выделены различные формы самоконтроля, проводимые после завершения этапа реализации намеченного плана. Приведем примеры таких форм.

1.Проверка с помощью  частного случая. Например, если  при решении неравенства получен  некоторый числовой промежуток, то можно проверить некоторые  конкретные значения переменной  из этого промежутка.

2. Проверка совпадения  размерности ответа с требованием  задачи. Например, при нахождении  пути значение скорости (км/ч) умножается  на значение времени (ч). Умножение  наименований должно дать наименование  длины (км).

3. Проверка симметричности  ответа, если в условии задачи  какие-то данные симметричны. Например, если уравнения, входящие в систему, симметричны относительно переменных, то и найденные значения различных  переменных должны быть равны.

4. Проверка ответа по  здравому смыслу. Например, скорость  пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не  может быть дробным и т. д.

5. Проверка с помощью  грубой прикидки. При этом данные  грубо округляются и выясняется  порядок возможного результата.

6. Проверка с помощью  обратной задачи или с помощью  другого способа решения.

7. Проверка текстовых  задач, решенных с помощью составления  уравнения, по смыслу. При этом  необходимо, чтобы все промежуточные  величины, зависящие от х,которые появляются в ходе решения задачи, имели бы смысл при полученном значении переменной.

Приведенные формы проверки, кроме 6, не дают полной гарантии правильно найденного и выполненного решения, но, тем не менее, с ними полезно ознакомить учащихся.

В работах, посвященных самоконтролю, предлагается следующая этапность в формировании самоконтроля: контроль за деятельностью учителя, взаимоконтроль - контроль учащихся за деятельностью товарища, контроль за собственной деятельностью. При этом речь, как правило, идет о контроле над исполнительской деятельностью. Такая последовательность имеет достаточное основание. Деятельность контроля состоит в сопоставлении, в сравнении двух действий: своего и контролируемого, а не просто в выполнении действия. Еще труднее посмотреть под новым углом зрения на свое исполнение действия. 
Заключение

Урок был и остается основной формой организации учебно-воспитательного процесса. Сущность урока составляет организация учителем разнообразной работы учащихся по усвоению новых знаний, умений, навыков, в ходе которой осуществляется их воспитание и развитие. Современный урок-это урок, на котором учитель умело использует все возможные формы организации познавательной деятельности учащихся.

Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определенные схемы. 
Задачи повышенной трудности служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для выявления наиболее способных к математике учащихся, для дополнительных заданий, как в школе, так и дома. 
Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью задач повышенной трудности позволит учителю добиться больших успехов в развитии математических способностей отдельных учащихся и всего класса в целом. 
Список литературы

1. Алексеев В., Бородин  П., Галкин В., Панферов В., Сергеев  И., Тарасов В. Разные стандартные  и нестандартные задачи // Математика, 2002. №36. - С. 24-27.

2. Генкин Г.З., Глейзер  Л.П. Преподавание в классе с  углубленным изучением математики // Математика в школе, 1991. №1. - С. 20-22.

3. Евсеева А.И. Уравнения  с параметрами // Математика, 1998. №2. - С. 10-14.

4. Епифанова Т.Н. Графические  методы решения задач с параметрами // Математика, 1998. №2. - С. 17-23.

5. Ефремов В.П., Ефремова  Л.И. Нестандартные задачи на уроках  и после // Математика, 2003. №7. - С. 56-58.

6. Задачи письменного  экзамена по математике за  курс ср. школы: условия и решения. Вып I / Д.И.Аверьянов и др. - М.: «Школа - Пресс», 1993. - 128 с.

7. Задачи повышенной трудности  по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для 10-11 классов сред.шк. / Б.М.Ивлев и др. - М.: Просвещение, 1993. - 46 с.

8. Кожухова С.А., Кожухов  С.К. Свойства функций в задачах  с параметром // Математика, 1998. №2. - С. 14-17.

9. Кордемский Б.А. Очерки  о математических задачах на  смекалку. Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1958. - 116 с.

10. Кострикина Н.П. Задачи  повышенной трудности в курсе  алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 237 с.

11. Кучугурова Н.Д. Интенсивный  курс методики преподавания математики: Учебное пособие. - Ставрополь: Изд-во  СГУ, 2001. - 231 с.

12. Методика преподавания  математики в средней школе / Общая  методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

13. Методическое пособие  по математике для поступающих  в вузы №1 / Под ред. А.А. Тырымова. - Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. - 80 с.

14. Методическое пособие  по математике для поступающих  в вузы №3 / Под ред. А.А. Тырымова. - Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. - 55 с.

15. Рогановский Н.М. Методика  преподавания математики в средней  школе. - Минск: Высшая школа, 1990. - 267 с.

16. Руководство к решению  задач по математике: Справ. пособ. для поступающих в вузы / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкина-Варчук, Т.Н. Чуракова; Под общ. ред. В.А. Протасени. - Минск: Высш. шк., 1991. - 350 с.

17. Сборник задач по  математике для поступающих в  вузы. В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В.К.Егорьев, В.В.Зайцев, Б.А. Кордемский  и др.; под ред. М.И.Сканави. - М.: Высшая  школа, 1998. - 528 с.

18. Столяр А.А. Педагогика  математики: Учебное пособие для  физико-математических факультетов  пед. ин-ов. - Минск.: Высшая школа, 1986. - 414 с. 19. Фридман Л.М. Теоретические  основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов  и педагогических высших учебных  заведений. - М.: Флинта, 1998. - 224 с.

20. Фридман Л.М., Турецкий  Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 191 с.

21. Шарыгин И.Ф., Голубев  В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 350 с.

22. Шарыгин И.Ф., Голубев  В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.