Высшая математика и производные

 

Непрерывность функции

 

Задание 58. Исследовать данные функции на непрерывность и построить  их графики.

Решение.

Рассмотрим точку  .

Найдем левый предел функции:

Найдем правый предел функции:

Точка является точкой разрыва 1-го рода, так как функция в этой точке имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Рассмотрим точку  .

Найдем левый предел функции:

Найдем правый предел функции:

Точка является точкой разрыва 1-го рода, так как функция в этой точке имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Построим график функции.

 

Ответ: и - точки разрыва 1-го рода.

 

 

 

 

Производная и ее приложения

 

Задание 8. Найти производные  данных функций.

а) ; 

б) ;

в) ; 

г)

д)

 

Решение

а)

 

б)

 

в)

 

г)

Прологарифмируем левую  и правую часть:    

  . Дифференцируем левую и правую часть, учитывая, что .

 

д)

Дифференцируем левую  и правую часть, учитывая, что  .

Ответ: а) ;  б) ;

в) ;  г) ;  д) .

 

 

Задание 18. Найти  и .

а)

б) ; 

Решение.

а)

 

б) ; 

Ответ: а) ,  ;

            б)  ; .

 

 

Задание 28. Найдите наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение.

Исследуем функцию на экстремум. Если точки экстремума принадлежат  данному отрезку, то вычисляем значения функции в точках экстремума и  на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Итак, ;  ;   ;  

- критическая точка.

Точка принадлежит отрезку .

Наименьшее значение функция  достигает в граничной точке  отрезка  , , наибольшее значение функция достигает в критической точке , ;

Ответ: ; 

 

 

Задание 38. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение

1. Область определения  функции:  , точка - точка разрыва функции.

2. Функция  не является  ни четной ни нечетной.

3. Точки пересечения с  осью  :

             

  - точка пересечения с осью 

Точка пересечения с осью :

   

  - точка пересечения с осью 

4. Так как точка разрыва  , то функция имеет вертикальную асимптоту .

Определим наклонную асимптоту.

 – наклонная асимптота.

5. Найдем точки возможного  экстремума.

       

  или  

Получили две точки  возможного экстремума.

6. Найдем критические  точки.

          

   

,

Получили две критические  точки.

7. Исследуем знаки первой  и второй производных, определим  участки монотонности функции,  направление выпуклости графика,  точки экстремума и перегиба.

Для исследования знака первой производной в интервалах , , и на числовой оси отметим точки возможного экстремума   и и точку, в которой функция не определена . Определим знаки   в указанных интервалах.

 

   +             -                 -             +              

        

         0                 1                                    

 

При  и   , функция монотонно возрастает.

При  и   , функция монотонно убывает.

Точка    является точкой локального максимума функции, точка    является точкой локального минимума функции.

Для исследования знака второй производной в интервалах , , и   на числовой оси отметим критические точки и и точку, в которой функция не определена . Определим знаки в указанных интервалах.

    +              -                 -                    +

                    0                   1                                            

 

При  и   , выпуклость графика функции направлена вверх;  при   и   , выпуклость графика функции направлена вниз. Точка является точкой перегиба функции.

8. Наибольшего значения  функции не существует, поскольку  область ее значений неограниченна  сверху и снизу.

9. Построим график функции.

 

Задание 68. Экспериментально получены пять значений искомой функции  при пяти значениях аргумента, которые записаны в табличной форме. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде ,

 

Решение

Для определения параметров уравнения  составим систему уравнений:

Составим вспомогательную  таблицу

	1	5,5	1	5,5
	2	6,5	4	13
	3	5	9	15
	4	3	16	12
	5	3,5	25	17,5
	15	23,5	55	63

 

Тогда система будет иметь  вид:

Решим систему  методом  исключения

                  

             

      

Итак, ,  .

Искомая прямая имеет уравнение .

Сделаем чертеж, на котором  в декартовой прямоугольной системе  координат построим экспериментальные  точки и график аппроксимирующей функции  .

- экспериментальные точки

Так как экспериментальные  точки расположены вокруг аппроксимирующей прямой, то уравнение прямой найдено верно.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_{Список  литературы}

 

1. Высшая математика : методические указания по выполнению контрольной работы №1 для студентов заочного факультета всех специальностей ускоренного курса обучения / сост. Г. М. Карань, Л. И. Целоусова. Хабаровск, 2000

2. Производная и ее  приложения: методические указания  и задания к контрольной работе  №2 для студентов 1 курса заочного  факультета ускоренной формы  обучения / сост. Г.И. Целоусова, Т.С. Нам. – Хабаровск, 2000

3. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.: в 2ч. М.: Высш.шк., 1986. Ч.1.