Высшая математика и производные

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Июня 2013 в 15:55, контрольная работа

Краткое описание

Решение задач по высшей математике.

Содержание

ЗАДАНИЕ 8 ………………………………………………………………………...3
ЗАДАНИЕ 18 7
ЗАДАНИЕ 28 10
ЗАДАНИЕ 48 12
ЗАДАНИЕ 58 14
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 8 16
ЗАДАНИЕ 18 18
ЗАДАНИЕ 28 19
ЗАДАНИЕ 38 20
ЗАДАНИЕ 68 23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

Прикрепленные файлы: 1 файл

Житник АИ Математика Контрольная 1.docx

— 367.88 Кб (Скачать документ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Тихоокеанский государственный  университет»

 

 

 

Кафедра «Математика»

 

 

Направление 190100.62 БНТК «Наземные  транспортно-технологические комплексы»

Профиль: СДМ Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математика»

ВАРИАНТ № 8

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент БЗФУО (ДОТ)

группы СДМ(б)зу-22

1 года обучения

шифр зач. кн. 12041031128

Фамилия   Житник

Имя   Александр

Отчество  Иванович

Проверил:

___________________________

___________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЗАДАНИЕ 8 ………………………………………………………………………...3

ЗАДАНИЕ 18 7

ЗАДАНИЕ 28 10

ЗАДАНИЕ 48 12

ЗАДАНИЕ 58 14

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 8 16

ЗАДАНИЕ 18 18

ЗАДАНИЕ 28 19

ЗАДАНИЕ 38 20

ЗАДАНИЕ 68 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высшая математика

 

Матрицы и действия с ними

 

Задание 8. Даны матрицы А и В

 

А=,     В=

 

Найти:

1) Произведение матриц  АхВ=С и определитель матрицы С;

2) Найти обратную матрицу  А-1 для матрицы А. Сделать проверку.

 

Решение

1) Найдем произведение  матриц 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

Найдем определитель матрицы С

detС = =

 

2) Найдем обратную матрицу  А-1

А=

detA==

 

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица А-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение А11 элемента а11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М11) элемента а11.

М11=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а11, есть число четное (1+1=2) и выражение (-1)1+1=1, то алгебраическое дополнение элемента а11 равно минору данного элемента.

А11=

Найдем алгебраическое дополнение А12 элемента а12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М12) элемента а12.

М12=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а12, есть число нечетное (1+2=3) и выражение (-1)1+2=-1, то алгебраическое дополнение элемента а12 равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А12=

Найдем алгебраическое дополнение А13 элемента а13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М13) элемента а13.

М13=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а13, есть число четное (1+3=4) и выражение (-1)1+3=1, то алгебраическое дополнение элемента а13 равно минору данного элемента.

А13=

Найдем алгебраическое дополнение А21 элемента а21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М21) элемента а21.

М21=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а21, есть число нечетное (2+1=3) и выражение (-1)2+1=-1, то алгебраическое дополнение элемента а21 равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А21=

Найдем алгебраическое дополнение А22 элемента а22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М22) элемента а22.

М22=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а22, есть число четное (2+2=4) и выражение (-1)2+2=1, то алгебраическое дополнение элемента а22 равно минору данного элемента.

А22=

Найдем алгебраическое дополнение А23 элемента а23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М23) элемента а23.

М23=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а23, есть число нечетное (2+3=5) и выражение (-1)2+3=-1, то алгебраическое дополнение элемента а23 равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А23=

Найдем алгебраическое дополнение А31 элемента а31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М31) элемента а31.

М31=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а31, есть число четное (3+1=4) и выражение (-1)3+1=1, то алгебраическое дополнение элемента а31 равно минору данного элемента.

А31=

Найдем алгебраическое дополнение А32 элемента а32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М32) элемента а32.

М32=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а32, есть число нечетное (3+2=5) и выражение (-1)3+2=-1, то алгебраическое дополнение элемента а32 равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А32=

Найдем алгебраическое дополнение А33 элемента а33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М33) элемента а33.

М33=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а33, есть число четное (3+3=6) и выражение (-1)3+3=1, то алгебраическое дополнение элемента а33 равно минору данного элемента.

А33=

 

Согласно теореме, обратная матрица найдена правильно, т.к.

=

 

 

Системы линейных уравнений

 

Задание 18. Дана система линейных уравнений

 

 

 

Решить систему тремя  способами:

1) методом Крамера

2) методом Гаусса;

3) средствами матричного  исчисления.

 

Решение

 

 

1) Решение методом Крамера

Дана система линейных уравнений (в матричном виде)

,    ,       

 

 

 

 

2) Решение методом Гаусса

Сформируем расширенную  матрицу

 

Применяя к расширенной  матрице последовательность операций, стремимся, чтобы каждая строка, кроме  первой начиналась с нулей, и число  нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на а11=2. Получим:

 

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а21=4. Получим:

 

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на а31=1. Получим:

 

Разделим строку 2 на а22=3. Получим:

 

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на а32=3/2. Получим:

 

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на а13=1. Получим:

 

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а12=-1/2. Получим:

 

Заданная система уравнений  имеет единственной решение:

х =0

х =2

х =1

3) Решение матричным методом

,    ,       

, значит 

Найдем детерминант матрицы А

detА = 6

Для нахождения обратной матрицы  вычислим алгебраические дополнения для  элементов матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем обратную матрицу А-1

 

Найдем решение:

 

Заданная система уравнений  имеет единственной решение:

х =0, х=2, х =1

 

Элементы векторной алгебры

 

Задание 28. Даны четыре точки  А11; у1; z1), А22; у2; z2), А33; у3; z3), А44; у4; z4) – вершины пирамиды. Найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами  А1А2 и А1А4;

3) площадь грани А1А2А3;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А1А2;

6) уравнение плоскости  А1А2А3.

 

Решение

 

А1(6, 1, 1), А2(4, 6, 6), А3(4, 2, 0), А4(1, 2, 6)

1) Найдем длину ребра  А1А2

А1А2=

=

2) Найдем угол между  ребрами А1А2 и А1А4. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен углу между векторами А1А2 и А1А4. Найдем:

А1А2=

А1А4=

Тогда угол a определим:

=

=

 

 

3) Найдем площадь грани  А1А2А3. Для этого найдем векторное произведение

 

 

, т.е

 

Тогда площадь грани равна

 

4) Найдем объем пирамиды

Объем пирамиды, построенной  на векторах a11;y1;z1), a2(x2;y2;z2), a3(x3;y3;z3) равен:

 

здесь x, y, z - координаты вектора.

Координаты векторов находим  по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора A1A2.

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 4 - 6 = -2; Y = 6 - 1 = 5; Z = 6 - 1 = 5

A1A2(-2; 5; 5)

A1A3(-2; 1; -1)

A1A4(-5; 1; 5)

  

Где нашли как определитель матрицы

∆ =

5) Найдем уравнение прямой А1А2. Для этого используем общую формулу прямой:

 

 – каноническое уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Вектор =(-2, 5, 5) – направляющий вектор прямой.

6) Найдем уравнение плоскости  А1А2А3

 

 

 

 

Уравнение плоскости А1А2А3=, нормаль к плоскости

 

Предел функции

 

Задание 48. Вычислить пределы  функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)

б) ;

в) ;  

г)

 

Решение

а)

Ни числитель, ни знаменатель  этой дроби не имеют конечного  предела, так как они неограниченно  возрастают при неограниченном возрастании  , т.е. неопределенность . Поделим числитель и знаменатель дроби на .

Так как  , , , при величины бесконечно малые.

б)

Функция не определена при и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке обращаются в нуль, неопределенность . Выделим общий множитель и сократим на него числитель и знаменатель, считая , .

Домножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное числителю:

в)

Поскольку числитель и  знаменатель обращаются в нуль при , то неопределенность .

Воспользуемся первым замечательным  пределом .

г)

Неопределенность  , воспользуемся вторым замечательным пределом .

Ответ: а) ; б) ;  в) ; г) .

Информация о работе Высшая математика и производные