Уравнение Фредгольма первого и второго рода

Аналитически эта ситуация описывается так: сходящемуся в  точку с координатами (ξ, η;) на плоскости (В) световому пучку, несущему единичный  световой поток, соответствует освещенность u₀(х.у) = δ(x-ξ, y-η); при этом в плоскости (A) получим освещенность v₀(х,у)=F[(x-ξ)²+(y-η)²]. Здесь δ — дельта-функция,

Отсюда, распределенной освещенности

в плоскости (B) соответствует освещенность в плоскости (А):

Это соотношение является интегральным уравнением Фредгольма первого  рода, определяющим u(х,у) при заданной v(x,у). Измеряя на фотографии значение функции v(х, у) и решая полученное интегральное уравнение, можно восстанавливать неразмытое изображение u(х,у).

Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода.

К однородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода приводят задачи о собственных колебаниях систем, т.е. колебаниях при отсутствии внешней силы. Рассмотрим задачу о малых поперечных свободных колебаниях струны переменной плотности р(х). Пусть концы струны закреплены. Тогда для поперечных отклонений струны u(x,t) выполнено:

P(x)u_tt = A²u_xx , u(0, t)=0 , u(l, t)=0.                  (1)

Поставим задачу определить профиль струны при свободных гармонических колебаниях, т.е. будем искать решения вида u(x,t)= y(x)sin(ωt). Значения ω, при которых существует решение такого типа, называются собственными частотами колебаний струны.

Для у(х) из (1) получаем задачу

, y(0)=0 , y(l)=0.              (2)

Рассматривая правую часть уравнения (2) как неоднородность, записываем решение задачи (2) в форме

     (3)

где G(x,s) — функция  Грина. Таким образом, поставленная задача свелась к определению тех значений ω, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения Фредгольма второго рода (3), и нахождению этих решений.

 

Список литературы

1. М.Л. Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко: Интегральные уравнения; Издательство Наука, Москва 1968.
2. Б.А. Зон: Лекции по интегральным уравнениям; Москва «Высшая школа» 2004.
3. Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
4. Васильева А. Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
5. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. — М.: «Факториал»,
6. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
7. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа.-М,: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
8. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО,