Теория игор

у якій немає домінуючих стратегій.

Визначивши нижню і верхню ціни гри, одержимо:

Звідки

Аналогічно:

Звідки

Оскільки , то гра не має сідлової точки і її розв'язком буду змішана стратегія (розв'язування змішаних стратегій розглянуто далі).

Приклад.  Дослідити гру, задану  платіжною матрицею  П₁ (табл.2).

Таблиця 2

Платіжна матриця

	В1	В2	В3	В4	Міn
А]	1	0	3	5	0
А2	3	2	4	4	2
А3	0	1	-!	4	-1
Мах	0	0	-1	4

 

У платіжній матриці П_1, що дорівнює:

знайдемо дублюючі і  свідомо невигідні домінуючі стратегії:

 

, сідлової точки немає.

Для гравця В свідомо невигідною є стратегія В₄, тобто всі значення цього стовпця перевищують відповідні значення 1, 2, 3 стовпців. її можна виключити (гравець В ніколи не скористається цією стратегією).

Можна скоротити розмір матриці, розбивши її на підматриці, у яких суми елементів по стовпцях і рядках рівні. Тоді замість чистих стратегій у матрицю включаються змішані. Елементи матриці, що відповідають змішаним стратегіям, одержуються діленням відповідних сум елементів на число чистих стратегій, поєднуваних у змішану.

Якщо змішані стратегії  входять до числа оптимальних, то імовірності використання вхідних  у них чистих стратегій рівні  між собою.

Приклад. Розглянемо матрицю П₂, розбиту на чотири підматриці, для яких виконується умова рівності сум елементів по рядках і стовпцях:

2	0	4	-2
0	2	-2	4
1	1	3	5
1	-1	5	3

 

Поєднуючи стратегії А₁ А₂ іА₃ А₄ і А₆, В₁ і В₂, В₃ і В₄ приводимо матрицю до вигляду 

 

Отримана матриця містить  сідлову точку. Тому розв'язування первісної гри, заданої матрицею А₃, таке:

Х*=(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0);

У* =(1/2; і/2; 0; 0).                                

Ціна гри дорівнює одиниці.

У результаті спрощення гри її розв'язання стало очевидним. Оптимальною для гравця А є комбінація стратегій А₁, А₂ і А₃, а для гравця В — комбінація стратегій В₁ і В₂.

Імовірності застосування стратегій А₁, А₂ і А₃ рівні між собою, сума їх дорівнює 1, тому X*=(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0).

Аналогічно отримана стратегія гравця В має вигляд Y* =(1/2; 1/2; 0; 0).

Таким чином при розв'язанні гри при mxn слід:

а)  перевірити, чи не містить  матриця сідлової точки;

б)  якщо сідлової точки  немає, то потрібно порівняти між  собою елементи рядків і стовпців для виключення дублюючих і домінуючих стратегій;

в) розглянути можливість розбивки матриці на підматриці для  заміни деяких груп чистих стратегій  змішаними.

 

 

3. Графічний  метод рішення ігор

 

Розв’язок гри (2х2) можна  знайти графічно (рис. 1).

Рис.1. Геометрична інтерпретація гри

 

На осі абсцис відкладемо відрізок одиничної довжини. Ліва точка  Х=0 відповідає стратегії А₁, а права — стратегії А₂. Проміжні точки відповідають певним змішаним стратегіям, де X1=1-Х, а Х₂ =Х.

На кінцях відрізка проведемо  перпендикуляри до осі абсцис, на яких відкладають виграші при відповідних чистих стратегіях. Якщо гравець В приймає стратегію B₁ то виграші відповідають а₁₁ і а₁₂

Відкладемо ці точки  на прямих А₁ і А₂. З'єднаємо точки прямої В₁В₁ і прямої В₂В₂. На перетині цих прямих вийде точка М, що відповідає змішаній стратегії. Ординати точок, що лежать на ламаній В₂МВ₁ характеризують мінімальний виграш для гравця А при використанні будь-якої змішаної стратегії X.

Дотримуючись принципу максиміна, одержимо, що оптимальний розв'язок гри визначає М, у якій мінімальний виграш досягає максимуму. їй відповідає на осі абсцис оптимальна стратегія X*, а ордината дорівнює ціні гри v. За ціною гри відразу знаходяться оптимальна стратегія для гравця В. Ламана В₂МВ₁ — нижня ціна гри:

Якщо матриця гри  має сідлову точку, то одержимо такі різновиди графічного зображення гри (рис. 1-2).

 Рис. 2. Графічне зображення гри із сідловою точкою

Розв'язком для гравця А є чиста стратегія А₂, а для гравця В — чиста стратегія А₁. Нижньою ціною гри буде ламана В₁МВ₂. Максимальне значення ламаної досягається в точці В₂ стратегії А₂, тоді Х*=(0,1), У* = (1,0).

Гра має сідлову точку а₂₂ = v, що дорівнює ціні гри.

Розглянемо інший випадок  гри із сідловою точкою (див.рис.3).                                         

 

 

Рис.3. Графічне зображення гри із сідловою точкою

Тут розв'язок гри відповідає точці В₁ і залишається векторами Х*= (0,1), У*= (1,0).

Гра має сідлову точку а₂₁ = v.

Стратегія В₂ домінуюча і явно невигідна для гравця В.

Графічна інтерпретація  дозволяє розв'язувати ігри з матрицею 2хр чи qх2.

Розглянемо алгоритм розв'язання гри графічним методом. Нехай задана матриця (2x2):

Розв'язок гри з матрицею (2x2) можна знайти графічно за допомогою  таких побудов. На осі абсцис відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює одиниці. Лівий кінець відрізка (точка  х=0) відповідає стратегії А₁, а правий — стратегії А₂. Проміжні точки х відповідають певним змішаним стратегіям (х_1; х₂), де х₁=1-х, х₂=х.

На кінцях обраного відрізка проведемо прямі, перпендикулярні осі абсцис, на них будемо відкладати виграш при відповідних чистих стратегіях.

Якщо гравець В застосовує стратегію В₁ то виграш при використанні чистих стратегій А₁ і А₂ становить відповідно а₁₁ і а₂₁. Відкладемо ці точки на прямих і з'єднаємо отримані точки прямої В₁В₁.

Якщо гравець А застосовує змішану стратегію, то його виграшу відповідає точка М, що лежить на цій прямій.

 

Практична частина

 

Підприємству надані на вибір два варіанти стратегії  розвитку, як мають наступні характеристики:

Перший. Вкладення в  даний проект складають 123000 грн. та результати впровадження такої стратегії  розвитку можуть мати наступні наслідки:

1) прибуток підприємства  складе 56% на вкладений капітал  з ймовірністю 0,4;

2) прибуток складе 32% з  ймовірністю 0,3;

3) збитки складуть 5% з  ймовірністю 0,3.

Другий. Необхідно інвестувати  кошти у сумі 215000 грн., при цьому:

1) прибуток підприємства може скласти 12% з ймовірністю 0,5;

2) прибуток може скласти  6% з ймовірністю 0,4;

3) збитки можуть скласти  2% з ймовірністю 0,1.

Визначити, який варіант  стратегії розвитку доцільно обрати підприємству й обґрунтувати вибір.

 

Рішення

 

Визначається очікуваний прибуток перемножуванням розміром валового прибутку по кожному варіанту на відповідну експертну оцінку імовірності одержання замовлення (з усіх прибутків вибирається максимальне значення імовірного прибутку). Отже, проведемо розрахунки

 

Для першого варіанту

Прибуток 1	=123000*56/100*0,4	=	27552
Прибуток 2	=123000*32/100*0,3	=	11808
Збиток	=123000*5/100*0,3	=	1845

Сума прибутку від реалізації варіанту у такому разі 27552+11808-1845=37515

Для другого варіанту

Прибуток 1	=123000*12/100*0,5	=	7380
Прибуток 2	=123000*6/100*0,4	=	2952
Збиток	=123000*2/100*0,1	=	246

 

Сума прибутку від  реалізації варіанту у такому разі 7380+2952-246=10086

Тобто оптимальний варіант  для підприємства 1 оскільки воно отримає  більший прибуток з першого проекту, з врахуванням ймовірності

 

 

 

ВИСНОВКИ

 

Теорія ігор належить до найбільш молодих математичних дисциплін. Її виникнення датується 1944 p., коли вийшла в світ монографія Неймана і Моргенштерна "Теорія ігор та економічної поведінки". Надалі теорія ігор перетворилася на самостійний математичний напрям, що має практичне застосування. Теорія ігор дає підприємцю чи менеджеру математичний апарат для вибору стратегії в конфліктних ситуаціях.

Теорія ігор — теорія індивідуальних раціональних рішень, що приймаються в умовах недостатньої інформації відносно результатів цих рішень. Теорія досліджує взаємодію індивідуальних рішень при деяких припущеннях, що стосуються прийняття рішень в умовах ризику, загальних умов довкілля, кооперативної або некооперативної поведінки інших індивідів. У той час, як традиційна мікроекономічна теорія пропонує теорію прийняття рішень в умовах визначеності, очевидно, що раціональному індивіду припадає приймати рішення в умовах невизначеності і взаємодії.

Теорія ігор — це теорія математичних моделей, інтереси учасників яких різні, причому вони досягають своєї мети різними шляхами.

Завдання розв’язання  гри, якщо її матриця не містить точки, тим складніша, чим більше значення m і n. Тому в теорії матричних ігор розглядаються способи, за допомогою яких розв'язування одних ігор зводиться до розв'язування інших, більш простих. Скоротити розмірність матриці можна, виключивши дублюючі і свідомо невигідні домінуючі стратегії. Після цього спрощену матрицю перевіряють на наявність у ній сідлової точки, що дозволяє відразу ж визначити розв'язування і ціну гри. Якщо сідлової точки немає, то переходять до визначення оптимальних змішаних стратегій.

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

 

1. Вітлінський В.В., Верчено П.І. Аналіз, моделювання та управління економічним ризиком: Навчально-методичний посібник, Київ: КНЕУ, 2000; 292с.
2. Ілляшенко С.М. Економічний ризик. Видання 2-ге, доп. і перер., Київ, 2004
3. Машина Н.І. Економічний ризик і методи його вимірювання: навчальний посібник, Київ: Центр навчальної літератури, 2003; 188с.
4. Фінансовий менеджмент: Підручник, /За ред. проф. А.М. Поддєрьогіна, Київ: КНЕУ; 535с.