Теория игор

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

Вступ	3
1. Предмет та поняття  теорії ігор	5
2. Дослідження ігор, заданих  платіжними матрицями	9
3. Графічний метод  рішення ігор	12
Практична частина	16
Висновки	18
Список використаної літератури	19

 

ВСТУП

 

Як і будь-яка людська діяльність, підприємництво обов'язково несе в собі елементі гри, що одвічно зумовлене біологічною і згодом закріплено соціальною природою людини. Причому в підприємництві і його мотивації закладено зв'язок між раціональним та ірраціональним. Бо будь-яка гра, як правило, включає в себе два види невизначеності: випадковість і вибір. Випадковість у даному випадку розглядається як раціональне, а вибір — як ірраціональне.

Досліджуючи феномен підприємництва як перманентної гри в економічному полі, звернемося до міркувань одного з оригінальних мислителів, натхненного популяризатора теорії ігор, професійного американського журналіста, що спеціалізувався на економічній тематиці Д.Мак-Дональда. Він правильно підмічає, що важлива роль західної наукової думки належить слову "раціональний", яке збиває з толку. Який же гравець поводить себе в грі раціонально?!

Теорія ігор виробила власне визначення: гравець раціональний тоді, коли він  прагне отримати більше числове значення деякої величини. У такому формулюванні ця ідея виглядає наївною і "нелегкозрозумілою". Але слово "більше" може означати не тільки більше мармурових статуй у колекції, більше грошей, більше влади, але й більш чисті повітря і воду, більше території, більше часу для міркувань і сну, більше робочих місць, більшу впевненість у завтрашньому дні, більшу цінність  будь-якого  виду.  Термін   "цінність"  у теорії ігор відповідає припущенню про те, що кожний гравець прагне до виграшу будь-якого виду. Із сказаного можна зробити висновок, що підприємець якраз і є типовим гравцем, бо його прагнення до максимізації прибутку і до найбільшого самовдосконалення є специфічною формою реалізації прагнення гравця до збільшення виграшу будь-якого виду.

У свою чергу виграш і є одним  із найпотужніших факторів мотивації  підприємництва. Кім того, слід звернути увагу і на те, що прагнення до виграшу і цінності будь-якого виду служать основною характеристикою раціональності гравця взагалі і гравця-підприємця зокрема.

Філософська наука в "чистому" вигляді теж не "вміщує в себе" діалектику раціонального та ірраціонального так, як це здатна зробити тільки теорія гри. І в цьому немає нічого дивного, бо теорія ігор з'явилася як відповідь на ту невизначеність світу, яка утворилася на флангах інших теорій. Те, що не під силу пояснити у феномені підприємництва економічній теорії і філософським наукам, покликана зробити теорія ігор. Щоб зайвий раз переконатися в правильності таких висновків, ще раз звернемося до феноменологізації теорії ігор. І зробимо це, посилаючись на одне з авторитетних науково-енциклопедичних видань, що отримало світове визнання, — "Словник сучасної економічної теорії Макміллана".

Як вірно помітили фахівці, здавен у слово "гра" вкладалося так багато значень аж до використання його для позначення легких засобів наживи і непорядної поведінки, що не так просто дати його строге визначення. Однак теорія ігор існує і слід постійно пам'ятати про те, що вона переслідує далекоглядну нетривіальну мету. В ній не береться до уваги задоволення, отримуване від гри, за винятком того, що воно може вплинути на цінності, якими керуються гравці. Так, деякі люди одержують насолоду від ризику, інші ж його не відчувають, але їх переваги і цінності матимуть вплив на хід гри.

 

 

1. Предмет та поняття  теорії ігор

 

Для обґрунтування рішень в умовах невизначеності, коли імовірності можливих варіантів обстановки невідомі, розроблені спеціальні математичні методи, що розглядаються в теорії ігор.

Теорія ігор належить до найбільш молодих математичних дисциплін. Її виникнення датується 1944 p., коли вийшла в світ монографія Неймана і Моргенштерна "Теорія ігор та економічної поведінки". Надалі теорія ігор перетворилася на самостійний математичний напрям, що має практичне застосування. Теорія ігор дає підприємцю чи менеджеру математичний апарат для вибору стратегії в конфліктних ситуаціях. Цей апарат повинен краще зрозуміти конкурентну обстановку і звести до мінімуму ступінь ризику. Крім того, аналіз ризикової ситуації за допомогою прийомів теорії ігор спонукає підприємця (менеджера) розглядати всі можливі альтернативи як своїх дій, так і стратегії партнерів та конкурентів.

Теорія ігор — теорія індивідуальних раціональних рішень, що приймаються  в умовах недостатньої інформації відносно результатів цих рішень. Теорія досліджує  взаємодію індивідуальних рішень при деяких припущеннях, що стосуються прийняття рішень в умовах ризику, загальних умов довкілля, кооперативної або некооперативної поведінки інших індивідів. У той час, як традиційна мікроекономічна теорія пропонує теорію прийняття рішень в умовах визначеності, очевидно, що раціональному індивіду припадає приймати рішення в умовах невизначеності і взаємодії.

Теорія ігор — це теорія математичних моделей, інтереси учасників яких різні, причому вони досягають своєї мети різними шляхами.

Зіткнення протилежних інтересів учасників призводить до виникнення конфліктних ситуацій. Необхідність аналізувати такі ситуації, у свою чергу сприяла виникненню теорії ігор, завданням якої є вироблення рекомендацій з раціонального способу дії учасників конфлікту.

Щоб виключити труднощі, які виникають при аналізі  конфліктних практичних ситуацій у  результаті наявності багатьох несуттєвих факторів, будується спрощена модель ситуації. Така модель називається грою. Конфліктна ситуація в ігровій моделі розвивається за певними правилами. Теорії ігор притаманна така термінологія: гравці — сторони, що беруть участь у конфлікті, виграш — результат конфлікту.

Невизначеність результату гри спричинюється різними причинами, які можна розбити на групи.

По-перше, особливості правил гри зумовлюють таку розмаїтість у її розвитку, що передбачати результат гри заздалегідь неможливо. Джерела невизначеності такого виду називаються комбінаторними, а відповідні ігри — також комбінаторними. Однак комбінаторна складність ігор має історично минущий характер завдяки використанню відповідного математичного апарату й обчислювальної техніки. Для цілого ряду комбінаторних ігор знайдені виграшні комбінації шляхом розв'язання логічних задач не надто великого обсягу.

По-друге, іншим джерелом невизначеності є вплив випадкових факторів. Ігри, в яких результат виявляється невизначеним виключно в результаті випадкових причин, називаються азартними (ігри в кості, гра, що полягає у відгадуванні — наприклад, яким боком випаде монета; рулетка).

Трете джерело невизначеності складається у відсутності інформації про дії супротивника, про його стратегію. Ігри такого роду називаються стратегічними. У теорії ігор саме і розглядаються стратегічні ігри. Найпростіший вид стратегічної гри — гра двох осіб з нульовою сумою (сума виграшів сторін дорівнює нулю). Тут мета одного гравця — максимізувати свій виграш, а другого — мінімізувати свій програш, причому рішення про вибір стратегії кожним гравцем приймається в умовах невизначеності, коли наперед не відомо, як вчинить супротивник.

По-четверте, в багатьох задачах, що підводяться до ігрових, невизначеність спричинена відсутністю інформації про умови, в яких здійснюється дія. Ці умови залежать не від свідомих дій іншого гравця, а від об'єктивної дійсності, що прийнято називати природою. Такі ігри називаються іграми з природою. Людина А в іграх із природою намагається діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімаксну стратегію, що дозволяє одержати найменший програш. Другий гравець Б (природа) діє зовсім випадково, можливі стратегії визначаються як її стани (наприклад, умови погоди в даному районі, попит на певну продукцію, обсяг перевезень, певне сполучення виробничих факторів і т. ін.). У деяких задачах для станів природи може бути заданий розподіл ймовірностей, в інших він невідомий. Такі ігри називають статистичними.

Засновником теорії статистичних ігор вважається А. Вальд. Він показав, що в теорії прийняття рішень статистичні  ігри є основним підходом, якщо рішення  приймається в умовах часткової невизначеності. Вона істотно відрізняється від антагоністичної гри двох осіб з нульовою сумою, де виграш одного дорівнює програшу іншого. У статистичній грі природа — не розумний гравець, що прагне обрати для себе оптимальні стратегії. Цей гравець не зацікавлений у виграші. Інша річ — людина, в даному разі статистик. Він має на меті виграти гру з уявлюваним супротивником, тобто з природою. Гравець-природа не обирає оптимальної стратегії, але статистик повинен прагнути до визначення розподілу ймовірностей стану природи для того, щоб обрати найменш ризиковане рішення.

Метою теорії ігор є передбачення результатів стратегічних, оперативних ігор, коли учасники не мають повної інформації про наміри один одного.

В умовах досконалої конкуренції теорію ігор не можна застосовувати, оскільки припускається, що дії одних індивідів не мають значного впливу на вчинки інших. Однак в умовах олігополії ситуація змінюється. Останніми роками теорія ігор все більше використовується в економіці, особливо в промислових організаціях.

За кількістю гравців усі ігри поділяють на три види: з одним, двома, трьома і більшим числом учасників. Якщо гравець один, то він грає, подібно Робінзону Крузо, проти природи. Якщо в грі відсутня взаємодія людей, то це не гра в розумінні сучасної теорії ігор, вона однобічна. Гра починається тоді, коли в ній беруть участь не менше як дві особи. Наявність двох учасників — мінімально необхідна умова виникнення відносин людей і їх взаємодії. Якщо у грі беруть участь три або більше гравців, вони можуть утворювати групи, або коаліції, а це вже соціальне явище.

Ігри також поділяються на ті з них, у яких загальна сума виграшів і програшів, загальна сума взаємних платежів дорівнює або нулю (те, що виграє один гравець, програє інший або  декілька інших), або деякій постійний величині; і ті, в яких можливі виграші або втрати усього колективу учасників.

Існують також економічні ігри (сюди ледь чи не в першу чергу входять  підприємництво і його мотивація), загальна сума виграшів і програшів у яких дорівнює деякій постійній величині, як, наприклад, у тому випадку, коли учасники борються за рівно оцінювані ними частки ринку. Однак для економічних ігор типовим є наявність "загального" прибутку. Кожний учасник такої гри одержує будь-що або сподівається виграти. Наприклад, ринкова гра і торги є іграми за взаємною згодою. Якщо угода між покупцем і подавцем не відбувалася, кожний зберігає те, що мав. Це найгірше, що може трапитися, доки не відбудеться щось більш сприятливе — будь-який обмін.

Рішення ігор ділиться на два види: кооперативні (коаліційні) і некооперативні (безкоаліційні). Якщо гравець обирає кооперативну гру, то він приймає однобічну точку зору на перспективу взаємодії. Він вивчає стратегії, що використовуються, шукає способи незалежної поведінки, що приводять до найкращих результатів при будь-яких діях інших учасників гри. Якщо ж він обирає кооперативний варіант і може вступати в коаліції, то спробує визначити перевагу або цінність.

 

 

 

2. Дослідження ігор, заданих платіжними матрицями

 

Узагалі завдання розв’язання  гри, якщо її матриця не містить точки, тим складніша, чим більше значення m і n. Тому в теорії матричних ігор розглядаються способи, за допомогою яких розв'язування одних ігор зводиться до розв'язування інших, більш простих. Скоротити розмірність матриці можна, виключивши дублюючі і свідомо невигідні домінуючі стратегії. Після цього спрощену матрицю перевіряють на наявність у ній сідлової точки, що дозволяє відразу ж визначити розв'язування і ціну гри. Якщо сідлової точки немає, то переходять до визначення оптимальних змішаних стратегій.

Приклад. Дослідити гру, задану платіжною матрицею (табл.1).

Таблиця 1

Платіжна матриця

	В1	В2	В3	В4	В5
А]	8	6	4	7	7
А2	5	4	3	4	6
А3	4	3	2	.1	4
А4	7	2	6	5	9

 

Розв'язання. 1-й рядок домінує над 2-м і 3-м, оскільки всі його елементи відповідно не менші від елементів 2-го і 3-го рядків. Тому стратегії А₂ і А₃ свідомо менш вигідні, ніж А₁ і можуть бути виключені (гравець А ніколи не скористається цими стратегіями). У результаті одержуємо матрицю:

У цій матриці 1-й, 4-й  і 5-й стовпці домінують над 2-м. Оскільки стовпці характеризують стратегії  гравця В, що прагне зменшити виграш гравця А, то ці стратегії свідомо невигідні. Після їхнього виключення одержуємо матрицю: