Случайные функции

Попытаемся построить  аналогичное определение корреляционного  момента двух комплексных случайных  величин Z₁ и Z₂:

 

Это определение, очевидно, должно быть построено так, чтобы  при Z₁=Z₂=Z корреляционный момент обращался в дисперсию величины Z. Оказывается, этому требованию нельзя было бы удовлетворить, если бы мы, как в случае действительных величин, назвали корреляционным моментом математическое ожидание произведения . Нетрудно убедиться, что при Z_X — Z₂ = Z математическое ожидание такого произведения будет не действительным, а комплексным, т, е. уже не дает дисперсии, которая, согласно определению, действительна и существенно положительна. Этого не будет, если назвать корреляционным моментом математическое ожидание произведения не на самую величину , а на соответствующую ей комплексную сопряженную величину:

                                                       ___

Тогда при Z_l = Z₂ = Z корреляционный момент, очевидно, обратится в дисперсию величины Z:

Таким образом, целесообразно  дать следующее определение корреляционного момента двух комплексных случайных величин Z₁ и Z₂:

                  __

где чертой наверху обозначается комплексная сопряженная величина. Выразим корреляционный момент двух комплексных случайных величин  через корреляционные моменты их действительных и мнимых частей. Имеем:

                  __

 

где - соответственно корреляционные моменты величин (Х₁,Х₂), (Y₁,Y₂); (Y₁,X₂), (X₁,Y₂).

Очевидно, в случае, когда все  эти величины между собой не коррелированы, корреляционный момент величин Z₁, Z₂ также равен пулю.

Таким образом, определения основных характеристик комплексных случайных  величин отличаются от обычных определений  аналогичных характеристик для  действительных величин только тем, что:

1) в качестве дисперсии рассматривается не математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины, а математическое ожидание квадрата ее модуля;

2) в качестве корреляционного момента рассматривается не математическое ожидание произведения центрированных величин, а математическое ожидание произведения одной центрированной величины на комплексную сопряженную другой.

Перейдем к определению комплексной  случайной функции и ее характеристик.

Комплексной случайной функцией называется функция вида:

Z(t)=X(t) +iY(t),

где X(t), Y(t)— действительные случайные функции.

Математическое ожидание комплексной случайной функции равно:

m_x(t)=m_x(t)+im_y(t)

Дисперсия комплексной  случайной функции Z(t) определяется как математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной функции:

где

 

Из определения видно, что дисперсия комплексной случайной функции действительна и неотрицательна.

Из формулы следует, что дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D_z(t)=D_x(t)+D_y(t)

Корреляционная функция  комплексной случайной функции  определяется как корреляционный момент ее сечений t и t':

где

— комплексная величина, сопряженная величине .

При t' = t корреляционная функция, очевидно, обращается в дисперсию:

K_z(t,t’)=D_z(t)

Пользуясь этой формулой, можно выразить корреляционную функцию комплексной случайной функции через характеристики ее действительной и мнимой частей. Рассматривая в качестве случайных величин Z₁ и Z₂, фигурирующих в этой формуле, сечения случайной функции Z(t) и Z(t'), получим:

K_z(t,t’)=K_z(t,t’)+K_y(t,t’)+i{R_xy(t,t’)-R_xy(t,t’)}

где R_xy(t,t’) — взаимная корреляционная функция случайных функций X (t) и Y(t) (действительной и мнимой частей случайной функции Z(t)).

В случае, когда действительная и мнимая части случайной функции не коррелированы (R_xy(t, t') = 0), эта формула имеет вид:

K_z(t,t’)=K_x(t,t’)+K_y(t,t’).

 

1.6 Каноническое разложение случайной функции

 

Рассмотрим случайную  функцию X (t), заданную разложением

где коэффициенты V_v V₂, ..-, V_m представляют собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с корреляционной матрицей ||K_ij|| .

Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X(t).

По определению

где

 

В формуле индекс суммирования обозначен буквой j, чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования i в другой формуле .

Перемножая выражения первой и второй формул и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:

 

где суммирование распространяется на все пары значений i, j—как равные, так и неравные. В случае, когда t=j.

M[V_iV_j]=M[V_i²]=K_ij=D_i

где D_i — дисперсия случайной величины V_i. В случае, когда i j.

M[V_iVj]=K_ij

где К_ij—корреляционный момент случайных величин V_i V_j.

Подставляя эти значения в формулу, получим выражений для корреляционной функции случайной функции X (t), заданной разложением:

Полагая в выражении t’=t, получим дисперсию случайной функции X (t):

 

2 Случайные процессы

 

Случайная величина х, изменяющаяся во времени  называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая х (t), а является множеством возможных кривых х (1), так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений.

Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Примерами случайных  процессов могут, например, являться: координаты

самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т. п. Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х (t). Каждая кривая множества является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками.

В каждый отдельный момент времени наблюдаются случайные величины каждая из которых имеет свой закон распределения. Поскольку это — непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

Рисунок 11

Обозначим w(x,t) закон распределения  для всех этих отдельных случайных  величин. В общем случае он меняется с течением времени,:

причем по свойству  для каждого из них

Для каждого заданного  момента времени можно найти  характеристики случайных величин, определенные. В результате будем иметь среднее по множеств у (математическое ожидание)

и дисперсию

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия D(t) или среднеквадратичное отклонение  s(t) характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций

процесса около этой средней кривой.

Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени  не зависят друг от друга. Тогда появления значений (x1,t1) и т.д. будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса и вообще

    

Это — самые простые  соотношения в теории случайных  процессов. Они могут

применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто  случайные

хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени, так, например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени t

занял положение х1 то этим самым его возможное положение х2 в следующий

момент t2 ограничено, т. е. события (x1, t1) и (x2,t2) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулы необходимо записать

Следовательно, зная плотности вероятности, можно найти также и условную

плотность вероятности

     'Кроме того, имеет место следующая связь  между основными плотностями вероятности:

     так как w (х1, t1) есть плотность вероятности случайной величины (x1,t1) безотносительно к тому, какое потом будет значение (x2, t2), т. е.

допускается. Аналогичным образом любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различные моменты времени).

Написанные соотношения  справедливы для случайных процессов любых типов. В зависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, а также от разных дополнительных гипотез о формах связи между w1, w2, . ., wn рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных.

 

2.1 Случайные процессы в системах автоматического регулирования

 

До сих пор поведение  систем автоматического регулирования  исследовалось при определенных, заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.)

Однако во многих случаях  характер воздействия бывает таким, что его нельзя

считать определенной функцией времени. Оно может принимать  с течением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени. Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться  друг с другом, появляться

одновременно иди с  любым сдвигом во времени и  т. п. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Чтобы полностью знать дискретную случайную величину «надо иметь следующие данные:

а) все возможные значения, которые она может принимать при данных условиях задачи или опыта;

б) вероятность появления  каждого из этих значений.

Графически этот закон  распределения изображен на рис. 1. Он представляет

собой равновероятное распределение  в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6).

Рисунок 12

В некоторых случаях  закон распределения случайной  величины может задаваться в аналитической форме.

Примером аналитического задания закона распределения дискретно  случайной

величины является часто  используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительные

значения от 0 до оо. Примерами  таких величин могут служить  число пассажиров вагона трамвая, число  вызовов на телефонной станции в  течение какого-либо определенного  отрезка времени, число электронов, попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п. Этот закон записывается следующим образом для целых значений числа х: