Системы счисления

Все позиционные системы  с любым натуральным основанием устроены одинаково. В любой позиционной  системе счисления основание  записывается в виде десяти, поскольку  оно есть единица второго разряда. Все натуральные числа, меньше основания, должны быть однозначными и изображаться разными знаками. Поэтому количество цифр, используемых в данной позиционной  системе, совпадает с основанием системы.

 

 

1.6 Арифметические  операции в различных системах  счисления

 

1.5.1 Сложение  и вычитание

В системе с основанием я для обозначения нуля и первых ρ-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., ρ - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.

 

+	0	1	2				q-1
0	0	1	2	***	***	***	q-1
1	1	2	3	***	***	***	10
2	2	3	4	***	***	***	11
***	***	***	***	***	***	***	***
q-1	q-1	10	11	***	***	***	1(q-2)

 

Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:

 

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	10
2	2	3	4	5	10	11
3	3	4	5	10	11	12
4	4	5	10	11	12	13
5	5	10	11	12	13	14

 

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления  с основанием ρ, производится так  же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа  подписываются одно за другим так, чтобы  цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется  под горизонтальной чертой, проведенной  ниже слагаемых чисел. Так же как  при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число  двузначное, в результат пишется  
последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.

Например,

 

 

 

Можно обосновать   указанное   правило   сложения   чисел,   используя представление чисел  в виде

 

 

Разберем  один из примеров:

 

354₇=3*7²+5*7¹+4*7⁰

263₇=2*7²+6*7¹+3*7⁰

Имеем:

 

(3*7²+5*7¹+4*7⁰) + (2*7²+6*7¹+3*7⁰) =

=(3+2)*7²+(5+6)*7+(3+4)

=5*7²+1*7²+4*7+7

=6*7²+4*7+7

=6*7²+5*7+0

=650₇

 

Последовательно выделяем слагаемые  по степени основания 7, начиная с  низшей, нулевой, степени.

Вычитание производится также  по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры  вычитаемого, то из следующего разряда  уменьшаемого "занимается" единица  и из полученного двузначного  числа вычитается соответствующая  цифра вычитаемого; при вычитании  цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру  уменьшаемого на единицу, если же эта  цифра оказалась нулем (и тогда  уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы  для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.

Например,

 

 

 

 

1.5.2 Умножение  и деление

*	0	1	2				q-1
0	0						0
1	0						q-1
2	0						1(q-1)
***	***						***
q-1	0						1(q-2)

Для выполнения действий умножения  и деления в системе с основанием ρ составляется таблица умножения 

Например, таблица умножения  в шестеричной системе счисления:

Однозначных чисел

 

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41

 

Умножение   двух   произвольных   чисел   в   системе   с   основанием   ρ производится так же, как в  десятичной системе - "столбиком",  то есть множимое умножается на цифру  каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

 

Например,

 

 

 

 

При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах  индекс основания не ставится:

 

 

 

Деление в системах с основанием ρ производится углом, так же, как  в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения  и таблица сложения соответствующей  системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной ρ-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в ρ-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Например:

 

 

 

 

 

 

1.7 Перевод чисел  из одной системы счисления  в другую

 

Существует много различных  способов перевода чисел из одной  системы счисления в другую.

Способ деления.

Пусть дано число N=a_n a_n-1. . . a₁ а_{0 р}.

Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:

 

N=b_mh^m+b_m-1h^m-1+... +b₁h+b₀                               (1)

где 1<b_m<h-1, 0 ≤ b_i ≤ h-l (i=0, 1,... ,m-l), тогда

 

N=b_mb_m-1... b₁b_oh                              (2)

 

Из (1) получаем:

 

N= (b_mh^m-1+...+b)*h +b₀ = N₁h+b₀, где 0≤ b₀ ≤h               (3)

 

To есть цифра b₀ является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное N_l = b_mh^m-1+ . . . +b₁ представим в виде:

 

N_l = (b_mh^m-2 + ... + b₂)h + b₁ = N₂h+b₁, где 0≤ b₂ ≤h      (4)

 

Таким образом, цифра b_i в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N₁ на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N₂ представим в виде:

 

N₂ = (b_mh^m-3+ ... +b₃)h+b₂, где 0≤ b₂ ≤h             (5)

 

то есть цифра b₂ является остатком от деления второго неполного частного N₂ на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем N_m = b_m, где b_m<h, так как:

 

N_m-1 = b_mh+b_m.₁ = N_mh+b_m.₁

 

Таким образом, последовательность цифр b_m, b_m-1 . . ,b₁,b₀ в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.

Рассмотрим пример: Выполнить  перевод числа 123 в шестнадцатеричную  систему счисления:

 

 

Таким образом, число 123₁₀=7(11)₁₆ либо можно записать как 7B₁₆

Запишем число 34022₇ в пятеричной системе счисления:

 

 

Таким образом, получаем, что 34022₇=233331₅

 

Перевод с использованием десятичной системы счисления.

Любое число в любой  системе счисления представимо  в виде:

 

N = a_npⁿ+...+a₁p+a₀

 

Таким образом, имея запись числа в таком виде, мы легко  можем перевести его в привычную нам десятичную систему счисления. Например

 

2209₅=2*5³+2*5²+0*5¹+9*5⁰=309₁₀

 

Так же, число, представленное в десятичной системе счисления, мы можем расписать по степеням любого другого основания:

220809₇=2*7⁵+2*7⁴+0*7³+8*7²+0*7¹+9*7⁰=38817₇

 

Таким способом можно перевести  числа из одной системы в другую. Например: переведем число 625₇ в 3-ичную систему счисления.

 

625₇=6^*7²+2*7¹+5*7⁰=6*49+2*7+5=31310

313₁₀=1*3⁵+0*3⁴+2*3³+1*3²+2*3¹+1*3⁰=1*243+2*27+1*9+2*3+1=102120₃

 

Ответ: 625т=102120₃

 

Систематические дроби. Перевод дробей в различные  системы счисления.

Известно, что десятичная дробь отличается от целого числа  только наличием запятой, отделяющей целую  часть от дробной, и такое сходство не случайно.

Можно сказать, что запись дробного числа в виде десятичной дроби представляет собой перенесение  общего принципа записи чисел в позиционной  десятичной системе счисления на дробные числа.

В самом общем случае смешанное  число, содержащее целую и дробную  части, представляется в виде суммы  степеней десятки и

 

 

Десятичные дроби являются частным случаем систематических  дробей, которые можно строить  аналогичным образом для любой  позиционной системы счисления.

Например, дробь 5^-1 + 6^-2 + 3^-3 назвать восьмеричной и записать в виде: 0,563₈.

Правила арифметических действий над ρ - ичными дробями (основание системы - q) такие же, как и над десятичными, но при действиях с однозначными числами нужно пользоваться таблицами сложения и умножения для данной системы.

Следует  заметить, что  не всякая простая дробь может  быть записана в виде конечной десятичной дроби. Это явление наблюдается  и в других позиционных системах счисления. При этом одно и то же число может в одной системе  счисления записываться в виде конечной дроби, а в другой - в виде бесконечной.

Например:

 

 

При переводе дробей из одной  позиционной системы счисления  в другую необходимо иметь в виду возможность получения бесконечных  дробей.

Общее правило перевода числа  в систему счисления  с основанием n:

Для перевода целого числа  в систему счисления с основанием n его надо последовательно делить на n (отбрасывая остатки), при переводе дроби, меньшей единицы – последовательно умножить  на n (отбрасывая целые).  Цифрами числа в n – ичной системе счисления в первом случае будут остатки, записанные в обратном порядке, а во втором – целые части, записанные в порядке их получения. Целые и дробные части в смешанном числе переводятся отдельно.

Пример: 378,8359375₁₀  перевести в систему счисления с основанием q=8

 

Итак, 378,8359375₁₀=572,654₈

 

Быстрый перевод  чисел из двоичной системы счисления  в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.

Перевод чисел между системами  счисления, основания которых являются степенями числа 2, может производиться  более простым алгоритмом.

Для записи двоичных чисел  используют две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Для записи восьмеричных чисел  используется восемь цифр, то есть возможны восемь вариантов. А для записи шестнадцатеричных  чисел используется 16 цифр, то есть 16 возможных вариантов.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то нужно его дополнить нулями слева.

Пример:

 

100     101     000    010₂

4          5          0       2₈

111     111     101    000    010    000 100₂