Системы счисления

В практической жизни при  счете предметов, которых очень  много, например, жителей страны, при  измерении различных величин, удается  определить только первые несколько  цифр результата. Любое число, данное практически, удается записать как  произведение не более чем восьмизначного (чаще трех - четырехзначного) числа  на "единицу с нулями". Например, поверхность Земли - 509 000 000 км². Можно записать так: 509 • 10⁶км².

Классическим примером числового  гиганта является награда, которую, если верить старинной легенде, потребовал себе изобретатель шахматной доски: за первую клетку доски — одно зерно  риса, за вторую — два, за третью - четыре и так далее, за каждую последующую - в два раза больше, чем за предыдущую. Эта скромная на вид просьба оказалась  невыполнимой: все житницы мира не смогут вместить риса, затребованного хитрым изобретателем.

Таким образом, для обозначения  и записи чисел мы пользуемся позиционной  десятичной нумерацией. Позиционной она называется потому, что значение цифры зависит от ее положения - места в ряду других цифр в записи числа; десятичной - потому, что из двух написанных рядом цифр левая обозначает единицы в десять раз большие, чем правая. Для обозначения и записи чисел в пределах миллиарда эта система очень удобна. При записи очень больших чисел пользуются понятием степени числа.

 

1.4  Системы нумерации некоторых народов

 

1.4.1  Древнегреческая нумерация

 

   В древнейшее время в Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова «дека»  – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000. Общую запись чисел в аттической нумерации иллюстрирует пример 1.1.

 

Пример 1.1  Запись чисел в аттической системе счисления

 

	,
	,
	,
	.

 

В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так  называемой ионийской системой. В ней числа 1 – 9 обозначались первыми девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.

Для отличия цифр от букв, составлявших слова, писали черточки над  цифрами. Обозначение чисел в  ионийской нумерации представлены в таблице 1.1, а примеры написания  различных чисел в примере 1.2.

 

Пример 1.2  Запись чисел в ионийской системе счисления

 

	,
	,
	,
	,
	.

 

Такую же алфавитную нумерацию  имели в древности евреи, арабы  и многие другие народы Ближнего Востока.

 

1.4.2  Славянская нумерация

 

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок:   («титло»).

В России славянская нумерация  сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. В таблице 1.2 приведены славянские цифры.

При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо  в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед  числом их  (слева внизу) ставился особый знак .

Пример 1.3  Запись чисел в древнеславянской системе счисления

 

	,
	,
	,
	.

 

1.4.3  Римская нумерация

 

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется  до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .

В римской нумерации явственно  сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (предположительно у этрусков).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных  цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз. Рассмотрим примеры.

 

Пример 1.4  Запись чисел римскими цифрами

 

	,
	,
	,
	.

 

Выполнение арифметических действий над многозначными числами  в этой записи очень громоздко  и трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

 

1.4.4  Вавилонская поместная  нумерация

 

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация - тоже поместная, однако в вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак . Запись чисел до 60 показана в примере 1.5. Способ обозначения чисел, больших 60 сведен в таблицу 1.3.

 

Пример 1.5  Запись вавилонской клинописью чисел до 60

 

	,
	,
	.
	.

 

Таблица 1.3  Запись вавилонской клинописью чисел, больших 60

 

Обозначение	Значение	Способ образования
	302
	1295
	3725
	7203

 

Шестидесятиричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятиричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Среднего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей. Следы шестидесятиричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

 

1.4.5  Индийская поместная  нумерация 

 

В различных областях Индии  существовали разнообразные системы  нумерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее  время является общепринятой. В ней  цифры имели вид начальных  букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите (алфавит «деванагари»).

Первоначально этими знаками  представлялись числа 1, 2, 3, … , 9, 10, 20, 30, … , 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка или кружок) для указания пустующего разряда; знаки  для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация «деванагари» превратилась в десятичную поместную систему. К середине VIII века позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение. Примерно в это время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века узбекским ученым Мухаммедом из Хорезма (аль-Хваризми). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Западной Европы она утверждается в XVI веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка  заимствовано и слово «цифра» (по-арабски  «сыфр»).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем сейчас, установилась в XVI веке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Системы счисления  с другими основаниями, их происхождение  и применение

Кроме десятичной системы  счисления возможны позиционные  системы счисления с любым  другим натуральным основанием. В  разные исторические периоды многие народы широко использовали различные  системы счисления.

Двенадцатеричная система  счисления - ее происхождение тоже связано  со счетом на пальцах: так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют  в совокупности двенадцать фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут  счет от одного до двенадцати. Затем двенадцать принимается за единицу следующего разряда и так далее. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать "двенадцать" часто говорят "дюжина". Многие предметы (ножи, вилки, тарелки) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками; сервизы бывают, как правило, на двенадцать или шесть персон. Другой пример: двенадцать месяцев в году, двенадцать цифр на циферблате часов.

Восьмеричная система  счисления - позиционная система  счисления с основанием 8. Для  представления чисел в ней  используются арабские цифры. Используется всего восемь цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Восьмеричная система часто используется в  областях, связанных с цифровыми  устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в  двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. и вообще в компьютерной документации, однако в настоящее  время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестидесятеричная система  счисления существовала и возникла в Древнем Вавилоне. Мнения историков  по поводу того, как именно возникла эта система, расходятся. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло  слияние двух племен, одно из которых  пользовалось шестеричной системой счисления, я второе - десятичной. Шестидесятеричная  система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывалось с числом 60. однако это предположение тоже нельзя считать достаточно обоснованным: астрономические познания древних вавилонян были довольно значительны, поэтому следует думать, что погрешность, с которой они определяли продолжительность года, была значительно меньше, чем пять суток.

Пятеричная система счисления  была распространена у ряда африканских  племен. Связь этой системы со строением  человеческой руки - первоначальной "счетной  машины" - достаточно очевидна. В  Китае принято считать пятками, причем пятки группируются в пары; получается своеобразная система счисления, в которой каждая единица четного  порядка в пять, а нечетного - в  два раза больше предыдущей. Однако эта система счисления с двойным  основанием, отражающая счет с помощью  двух рук, довольно сложна. Гораздо  чаще используется чистая пятеричная система, то есть позиционная система  с основанием пять.

Двадцатеричная система  счисления была принята у ацтеков  и майя -народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в XVI - XVII вв. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со II в. до нашей эры.

Из пяти перечисленных  выше систем счисления, сыгравших, наряду с десятичной, заметную роль в развитии человеческой культуры, все, кроме шестидесятеричной, источники которой не ясны, связаны  с тем или иным способом счета  по пальцам рук (или и рук, и  ног), то есть имеют несомненное "анатомическое" происхождение.