Системы из двух нелинейных уравнений первого порядка в частных производных

§3. Примеры  решения нелинейных систем из двух нелинейных уравнений первого порядка

ПРИМЕР 2.1. Требуется решить систему уравнений

  (2.20)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Это условие выполняется  лишь при  и при Непосредственной подстановкой этих значений в систему уравнений (2.20) находим, что перовое значение является решением системы, а второе – нет.

 

ПРИМЕР 2.2. Требуется решить систему уравнений

   (2.21)

Условие совместности системы

 

выполняется тождественно.

Сначала решаем первое уравнение  системы (2.21), рассматривая в нем  как параметр. Его общее решение можно представить в виде

  (2.22)

где рассматривается пока как произвольная дифференцируемая функция. Подставляя это решение во второе уравнение системы (2.21), получаем линейное уравнение относительно

 

 

Его общее решение можно  представить в виде

 

где – произвольная постоянная. Подставляя найденное значение в формулу (2.22), получаем решение исходной системы уравнений в виде

 

ПРИМЕР 2.3. Требуется решить систему уравнений

    (2.23)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Выполняется тождественно.

Рассмотрим первое уравнение  системы и найдем его общее  решение:

 

 

 

        (2.24)

(2.24) – общее решение  первого уравнения системы (2.23)

Подставляя это решение  во второе уравнение системы (2.23), получаем линейное уравнение относительно

 

Интегрируя получаем общее  решение в виде:

 

Подставляя найденное  значение в формулу (2.23), получаем решение исходной системы уравнений в виде

 

ПРИМЕР 2.4. Требуется решить систему уравнений

       (2.25)

Покажем, что непрерывно дифференцируемых решений система  не имеет. Предполагая противное, на основе данных уравнений имеем:

 

 

 

Отсюда в силу непрерывности  смешанных производных следует  тождество:

 

Выразим

            (2.26)

Следовательно функция (2.26) должна быть решением обоих уравнений.

Но непосредственной подстановкой в систему (2.25) убеждаемся в том что это не так

 

Следовательно система дифференциальных уравнений (2.25) не имеет решений!

ПРИМЕР 2.5. Требуется решить систему уравнений

    (2.27)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Это условие выполняется  лишь при  и при .  Непосредственной подстановкой этих значений в систему уравнений (2.27) находим, что перовое значение является решением системы, а второе – нет.

 

 

 

Глава 3. Практическое применение нелинейных систем уравнений первого порядка

В этой главе будут рассмотрены  различные нелинейные системы уравнений  первого порядка, моделирующие различные  химические, физические или биологические  процессы.

§1. Системы вида  

Подобные системы уравнений  встречаются в теории химических реакторов, в теории фильтрации и  хроматографии.

Системы данного вида инвариантны  относительно сдвигов по независимым  переменным и допускают решения  типа бегущей волны  Эти решения, а также вырожденные решения, когда одна из искомых функций равна нулю (или константе), далее не рассматриваются.

Ниже  – произвольные функции соответствующего аргумента  ;  уравнения упорядочены по мере усложнения типа аргумента.

ПРИМЕР 3.1.  Дана система

 

Общее решение

 

 

Где – произвольные функции

 

ПРИМЕР 3.2. Дана система

 

Здесь, - произвольные функции

Решение с обобщенным разделением  переменных:

 

Здесь функции ,   ,  определяются системой, состоящей из одного алгебраического (трансцендентного) уравнения и двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

 

 

 

ПРИМЕР 3.3. Дана система

 

 

Пусть

Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:

 

где функции и описываются автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями

 

Интегрируя, получим

 

 

 

§2. Системы газодинамического типа, линеаризуемые с помощью преобразования годографа

ПРИМЕР 3.4. Дана система

 

Данная система описывает  нелинейные одномерные продольные колебания  упругого стержня, где  – градиент деформации, – скорость деформации, – напряжение. Условие выражает гиперболичность этой системы, штрих обозначает производную по .

1. Пусть   -  решение рассматриваемой системы уравнений. Тогда пара функций

 

где – произвольные постоянные, также будет решением данной системы.

2. Тривиальные решения:

 

где – произвольные постоянные.

3. Автомодельные решения, зависящие от отношения независимых переменных :

 

 

где – произвольные постоянные.

4. Точны решения в неявном виде:

 

 

где  – произвольные функции, – произвольные постоянные Эти решения описывают простые волны Римана и характеризуются функциональной зависимостью искомых величин   . В частных случаях эти формулы переходят в автомодельные решения под цифрой (3).

5. Рассматриваемая система может быть линеаризована с помощью преобразования годографа

 

где и приняты за независимые переменные, а и – за зависимые переменные.

6. Исключая из рассматриваемой системы , приходим к уравнению вида

 

ПРИМЕР 3.5. Дана система

 

Система описывает одномерные течения идеального политропного газа, где  – скорость газа, – его плотность.

§3. Другие нелинейные системы двух уравнений первого порядка

ПРИМЕР 3.6 Дана система

 

Эта система описывает  глубокую фильтрацию однокомпонентной суспензии частиц в пористой среде  с учетом изменения ее проницаемости (обусловленной захватом частиц пористой средой). Первое уравнение системы  представляет собой баланс массы  для накапливаемых частиц и суспензии, а второе уравнение описывает  кинетику накопления; – концентрация суспензии,  – концентрация накапливаемого вещества (осадка),  -  коэффициент фильтрации.

 

§4. Пояснения к главе 3

1. Химический реактор— агрегат для проведения химических реакций объёмом от нескольких миллилитров до десятков кубометров. В зависимости от условий протекания реакций и технологических требований реакторы делятся: реакторы для реакций в гомогенных системах и в гетерогенных системах; реакторы низкого, среднего и высокого давления; реакторы низкотемпературные и высокотемпературные; реакторы периодического, полунепрерывного и непрерывного действия.
2. Суспензия – или взвесь (лат. suspensio, буквально — подвешивание, от лат. suspendo — подвешиваю) — смесь веществ, где твёрдое вещество распределено в виде мельчайших частичек в жидком веществе во взвешенном неосевшем состоянии.
3. Теория фильтрации – раздел гидродинамики, посвященный исследованию движения жидкостей через пористые среды, то есть тела, пронизанные системой сообщающихся между собой пустот (пор). Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, мягкие ткани животных, а также искусственные материалы: строительные (бетон, кирпич), пищевые (хлеб), искусственная кожа, керамика, металлические детали, полученные методом порошковой металлургии, и т.д.
4. Хроматография – динамический сорбционный метод разделения и анализа смесей веществ, а также изучения физико-химических свойств веществ. Основан на распределении веществ между двумя фазами — неподвижной (твердая фаза или жидкость, связанная на инертном носителе) и подвижной (газовая или жидкая фаза, элюент).

 

Заключение

В ходе курсовой работы мной были рассмотрены системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных  производных первого порядка, а  также алгоритм их решений. Были разобраны  примеры решений, охватывающие разные случаи: когда необходимое условие  совместности выполняется тождественно, когда корни системы находятся  непосредственно из условия совместности системы и третий случай – когда  система не имеет решений. Так  же было приведено практическое применение систем уравнений в задачах математической физики, в моделировании процессов  фильтрации, массопереноса, биологических  процессов, химических реакторов и  др. Так же полностью раскрыт геометрический смысл линейных и квазилинейных  уравнений первого порядка в  частных производных.  

Список литературы

1. Степанов В. В. – Курс дифференциальных уравнений
2. Камке Э. – Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка
3. Егоров Ю.В. – Лекции по уравнениям с частными производными
4. Трикоми Ф. –Лекции по уравнениям в частных производных
5. Вязьмина Е.А., Бедриковецкий П. Г., Полянин А. Д. - Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса
6. Полянин А. Д. Зайцев В.Ф. – Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2^nd Edition