Схема и метод Куммера

и по следствию 2 функция f(z) в точности принадлежит  классу

Легко проверить, что при u1 − u2 ∈ Z+ функция f(z) является E-функцией.

СЛУЧАЙ 4. Пусть, наконец, v1v2 = 0, |v1| + |v2| > 0. Тогда в дробях не происходит сокращения больших простых идеалов и согласно утверждению 2следствия 2 функция f(z) в точности принадлежит классу

Таким образом, мы разобрали все случаи теоремы 1, чем завершили её доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод Куммера

Метод Куммера  — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд  другим, сходящимся быстрее.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд ak и требуется найти его  сумму с заданной точностью. Для  увеличения скорости сходимости этого  ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд bk с известной  суммой такой, чтобы разность

 

 

В этом случае величину можно представить в виде суммы , где ряд ck сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда bk — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда ck.

Например, для повышения скорости сходимости ряда можно воспользоваться рядом , сумма которого известна, и записать .

Преобразование  Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

 

 

 

4. Признак Куммера

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Пусть дан  ряд  и произвольная числовая последовательность , такая что ряд расходится. Тогда ряд сходится, если для некоторого n > N выполняется неравенство:

, где δ > 0.

Если  же   для n > N, то ряд расходится.

 

4.1 Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

, то при K > 0 ряд сходится, а при K < 0 — расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Идеальное число

Идеальные числа были введены Куммером и  послужили отправной точкой для  определения идеалов колец, введённых  позже Дедекиндом. В настоящее  время этот термин не используется и заменён понятием идеала.

Идеал в  кольце является главным, если он состоит  из элементов, кратных некоторому элементу, иначе он неглавный. Таким образом  каждому числу кольца можно сопоставить  главный идеал, при этом можно  предположить существование идеальных  чисел, которым бы соответствовал произвольный идеал.

5.1 Пример

Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда  кольцо целых чисел поля  — это , то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к , что даёт . Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это ι = ( − 8 − 16y − 18w + 12w2 + 10yw + yw2) / 23. Так как оно удовлетворяет уравнению ι6 − 2ι5 + 13ι4 − 15ι3 + 16ι2 + 28ι + 8 = 0, то оно алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι, дающие  имеют вид aα + bβ, где

α = ( − 7 + 9y − 33w − 24w2 + 3yw − 2yw2) / 23

и

β = ( − 27 − 8y − 9w + 6w2 − 18yw − 11yw2) / 23.

Коэффициенты  α и β также алгебраические целые числа, удовлетворяющие

и

Умножая aα + bβ на идеальное число ι, получаем 2a + by, что является неглавным идеалом.

 

5.2 История

Куммер  впервые написал о возможности  неединственного разложения на множители  в циклотомических (круговых) полях  в 1844 году в малоизвестном журнале; статья была повторена в 1847 году в  журнале Лиувилля. В дальнейших работах  в 1846 году и 1847 году он опубликовал свою основную теорему о единственности разложения на (действительные и идеальные) простые множители.

Считается, что Куммер пришел к идее «идеальных комплексных чисел» при изучении Великой теоремы Ферма; рассказывают даже, что Куммер, как и Ламэ, считал, что доказал Великую теорему  Ферма, пока Дирихле не сказал ему, что  его доводы опираются на единственность факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хенселем в 1910 и, скорее всего, появилась из ошибки в одном из источников Хенселя. Гарольд  Эдвардс сказал, что вера в то, что Куммер всерьез интересовался  Последней теоремой Ферма, «несомненно  ошибочна».

Обобщение идей Куммера было осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих  сорока лет. Прямое обобщение столкнулось  с серьезными трудностями, что привело  Дедекинда к созданию теории модулей  и идеалов. Кронекер справился с  трудностями, развив теорию форм (обобщение  квадратичных форм) и теорию дивизоров. Работы Дедекинда легли в основу теория колец и абстрактной алгебры, а работы Кронекера создали главный  инструмент алгебраической геометрии.

 

 

 

 

 

6. Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены  положительные ряды. Были рассмотрены  и решены примеры, которые помогли  закрепить материал и научится применять его на практике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Библиографический список
1. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергео-метрических функций // Сиб. мат. журн.—1976.—Т. 17, № 6.—С. 1220—1235.
2. Галочкин А. И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеляклассу E-функций // Мат. заметки.—1981.—Т. 29, № 1.—С. 3—14.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.
4. Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

Программа, вычисляющая функцию Куммера  с заданной точностью и выводящая  на экран её график при заданных значениях параметров  a  и c.

 

program row;

uses crt;

const

a=17;

c=666;

var

driver, mode, err: integer;

e, s, ds, smin, smax: real;

x, t, my: integer;

 

begin

smin :=1;

smax :=1;

writeln (‘Enter e :’);

readln (e);

for x :=-100 to 100 do

     begin

s :=1;

t :=1;

ds :=1;

repeat

   ds :=ds*(a+t-1)*x/(c+t-1)/t;

   s :=s+ds;

   inc (t);

until ds<e;

if s>smax then smax :=s;

if s<smax then smax :=s;

    end;

driver :=detect;

initgraph (driver, mode, ‘e :\bp\bgi’);

err :=graphresult;

if err <> grok then

    begin

writeln (‘Error of graphic initialization : ‘);

writeln (grapherrormsg (err));

writeln (‘Press any key . . . ‘);

readkey;

halt;

     end;

my :=round (400/(smax-smin));

line (320, 0, 320, 480);

line (0, round (my*smax), 640, round (my*smax));

for x :=-100 to 100 do

    begin

s :=1;

t :=1;

ds :=1;

repeat

   ds :=ds*(a+t-1)*x/(c+t-1)/t;

   s :=s+ds;

   inc (t);

   until ds<e;

   putpixel (320+3*x, round (420-my*s), 15);

 end;

 readkey;

and.