Схема и метод Куммера

Содержание

 

 Введение ………………………………………………………………………... 2                                                                                                     

1. Схема Куммера……………………………………………………………….3
1. Вывод признаков сравнения из схемы Куммера……………………..4
2. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера………………………………………………………………………..6
3. Метод Куммера……………………………………………………………...15
4. Признак Куммера…………………………………………………………...16

5.1 Фомулировка в предельной форме……………………………………...16

5. Идеальное число…………………………………………………………….17

6.1 Пример…………………………………………………………………….17

6.2 История……………………………………………………………………18

6. Заключение…………………………………………………………………..19
7. Библиографический список……………………………………………….20

Приложение……………………………………………………………………..21                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Современное развитие фундаментальных и прикладных наук, решение многих практических задач характеризуется все большим  проникновением математических методов. Одной из основных математических дисциплин, которая развивает математическую культуру, математическую интуицию, логическое мышление, умение правильно формулировать инженерно-технические задачи на математическом языке, является математический анализ.

Курсовая работа является важным этапом изучения курса математического  анализа.

При решении многих практических задач, естественно, появляются специальные  функции. Выполнение курсовой работы предполагает знакомство с основными классическими  и современными специальными функциями, возникшими в самом математическом анализе, дифференциальных уравнениях, математической физике, теории вероятностей и других математических дисциплинах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Схема Куммера

Теорема1.Пусть будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что ряд расходится.

Если  существует предел:

,       (1)

то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при – расходится.

Доказательство. Из равенства (1), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого существует , такой что для выполняется неравенство:

    (16)

1) Пусть  , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (16) следует, что выполняется следующее неравенство:

Умножая обе части этого неравенства  на , получается:

,    (17)

значит, .

Отсюда  следует, что последовательность монотонно убывает и, следовательно, стремится к конечному пределу (так как ограничена снизу нулем).

Итак, ряд  сходится, ибо его частичная сумма: , имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (17), по признаку сравнения I, следует, что сходится ряд , а с ним и данный ряд (А).

2) При , аналогично пункту (1), при выполняется неравенство:

Так как ряд  является расходящимся, то, по теореме 4, расходится и испытуемый ряд (А).

Замечание1.Условие расходимости ряда используется только для вывода признака расходимости, признак сходимости в этом условии не нуждается.

Замечание2. Схема Куммера является общей схемой для получения конкретных признаков.

 

1.1 Вывод признаков сравнения из схемы Куммера

1. Положили, что . Условие расходимости ряда соблюдено. Получается

 

 

 

 

Перешли к  пределам

1) При            ряд сходится.

2) При            ряд

 

расходится.

Таким образом, был выведен признак Даламбера.

2) Положили, далее, . Ряд расходится как гармонический. Отсюда следует:

Перешли к  пределам:

 

1) При         ряд сходится.

2) При         ряд расходится.

 

Здесь получился  признак Раабе.

 

2. О некоторых арифметических свойствах

коэффициентов функции Куммера

 

В 1929 году К. Зигель опубликовал метод, позволяющий устанавливатьалгебраическую независимость значений некоторых целых функций, названныхим -функциями. Он доказал, что целые гипергеометрические функции с рациональными параметрами являются -функциями.А. Б. Шидловский, продолжая исследования К. Зигеля, установил необходимое и достаточное условие алгебраической независимости значений – функцийв алгебраических точках.В некоторых случаях удаётся исследовать арифметические свойства значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Эти функции не являются -функциями, но к ним частично применимы методы, разработанные для -функций. В связи с этим определение -функций имеет смыслнесколько обобщить.

В. Г. Спринджук доказал, что функция

 

 

при иррациональном алгебраическом параметре , таком что Q(λ)- поле Галуа, не является - Е функцией.

Определение 1. Функция принадлежит классу ,если

1. коэффициенты принадлежат алгебраическому числовому полю K,
2. при любом эти коэффициенты и сопряжённые им числа растут как

 

3. существует последовательность отличных от нуля чисел из кольца таких, что и норма есть .

Функция f(z) в точности принадлежит классу , если она принадлежит этому классу и не принадлежит никакому другому такому классу с меньшим значением τ.Класс совпадает с классом E-функций Зигеля.

В (1) установлено, какому классу в точности принадлежит функция

 

при условии, что Q(a1, a2)—квадратичное поле.

Пусть ω  — квадратичная иррациональность, K = Q(ω), k = degK = 2,

 

При v1 = v2 = 0 функция (1) является E-функцией, поэтому будем  считать,

что |v1| + |v2| > 0. Выбором числа ω можно обеспечить, чтобы

Теорема 1. Функция Куммера (1) в точности принадлежит классу в следующих случаях:

 

1) при v1 > v2 (v1 > 0);

2) при u1v2 − u2v1 Z;

3) при v1 = v2 > 0 и u1 − u2

4) при v1v2 = 0, |v1| + |v2| > 0 .

 

При v2 >v1 > 0 , u1v2 − u2v1 ∈Z функция f(z) в точности принадлежит классу

При v1 = v2 > 0 , u1 − u2 ∈ Z+, а также при v1 = v2 = 0 функция f(z)

является E -функцией.

Общий случай deg Q(a1, a2) = 2 сводится путём выбора ω к какому-либо из описанных случаев.

Доказательство. Пункты 1) и 2) определения 1 для функции (1) очевидны. Чтобы доказать пункт 3), достаточно для нормы идеалов ,

ряда (1), получить оценки

при значениях  τ, взятых из утверждений теоремы 1.Пусть p—простой идеал поля K, делящий простое число p, и

 

p | (a1 + k1), p | (a2 + k2), k1, k2 ∈N, 1≤ k1, k2 ≤ n                     (5)

 

(простой  идеал p делит a, если он входит в положительной степени в разложение главного идеала (a) в произведение простых идеалов), т. е.

 

p | (u1 + v1ω + k1) = α1, p | (u2 + v2ω + k2) = α2.

 

Рассмотрим определитель:

 

 

Так как p | ∆ и ∆ ∈ Q, то p | p, p | ∆, и если ∆ ≠ 0, то p ≤ |c∆| <γn, γ > 1,

где постоянная γ не зависит от n.

Определение 2. Простой идеал p назовём малым, если p | p, p<γn, и

большим, если p | p, p ≥γn.

Из сказанного выше следует, что при ∆≠0 соответствующий простой идеал малый.

Можно оценить вклад, которыйвносят малые и большие простые идеалы в числители и знаменатели коэффициентов ряда (1). В случае, когда K = Q(ω)—квадратичное поле, из указанных лемм легко выводится следующее утверждение.

Лемма 1.Пусть

Тогда

где в идеал  входят только малые простые идеалы, а в идеал  — только

большие простые идеалы, причём

 Идеал делится на идеал

Следствие 1.

При deg Q(a1, a2) = 2 функция (1) принадлежит классу .

Следствие 2.

1. Если для любого достаточно большого натурального числа n и любогобольшого простого идеала p , делящего (a2 + 1). . . (a2 + n) , существует такой индекс ν, чтоp делит знаменатель, но не делит числитель дроби cν в (4), то функция f(z) в точности принадлежит классу

2 . Если при  всех достаточно большихn дробь не может быть сокращена ни на один большой простой идеал, то функция f(z) в точности принадлежит  классу

Продолжим доказательство теоремы. Пусть далее ∆ = 0. Тогда

и в силу (3)

При v1v2 < 0 и достаточно большом x это невозможно, поэтому согласно утверждению 2 следствия 2 в этом случае функция f(z) в точности принадлежит классу Из (8) следует, что

 

v1x ≡  b1 (mod c), v2x ≡ b2 (mod c).                                          (9)

 

Поскольку в (3) (v1, v2) = 1, существуют целые числа w1 и w2, такие, что

 

v1w1 + v2w2 = 1                                                                        (10)

 

а тогда из (9) следует, что

 

x ≡ b1w1 + b2w2 (mod c),                                                                   (11)

 

значит, система (9) имеет не более одного решения.

Подставляя  в (9) значение (11), получаем:

 

v1(b1w1 + b2w2) ≡ b1 (mod c), v2(b1w1 + b2w2) ≡ b2 (mod c),

 

откуда по (10)

 

b1(1 − v2w2) + b2v1w2 ≡ b1 (mod c), b1v2w1 + b2(1 − v1w1) ≡ b2 (mod c),

 

т. е.

 

w2(b1v2 − b2v1) ≡ 0 (mod c), w1(b1v2 − b2v1) ≡ 0 (mod c),

 

и снова по (10) получаем b1v2 − b2v1 ≡ 0 (mod c), а в силу (3)

 

u1v2 − u2v1 ∈ Z.                                                                                  (12)

 

Следовательно, если u1v2 − u2v1 Z, то согласно утверждению 2 следствия 2 функция f(z) в точности принадлежит классу

Пусть выполнено  условие (12) и x0 —наименьшее решение  системы (8) при 1 ≤ k1, k2 ≤ n. Тогда в (9) x = x0 + tc, t ∈ Z+, и в (8) bi + kic = vi(x0 + tc),

i = 1, 2, а в  силу (2), (3)

 

 

Поэтому дробь (a1+k1)/(a2+k2) можно сократить на x0/c+ω+t, в результате чего дробь в (4) сократится на величину

где

По лемме 1

где идеал  An состоит из малых, а идеал Bn —из больших простых идеалов и

 

Далее рассмотрим несколько случаев.

СЛУЧАЙ 1. Пусть v2 > v1 > 0. Тогда из (8) следует, что k2 > k1 при достаточно большом x.

В главных  идеалах имеем

 

 

Сначала вынесем из числителя и знаменателя  все малые простые идеалы ипроизведём  соответствующее сокращение. По лемме 1 дробь сократится, по крайней мере, на идеал из (6). Затем каждую пару идеалов (a1+k1) и (a2+k2) из (5) сократим на соответствующий простой идеал p, если этот идеал большой.

Поскольку k2 > k1, в знаменателе не останется множителей, не сокращённых на такие большие простые идеалы. Мы получим равенство

 

 

где целые  идеалы состоят только из больших простых идеалов, = 1, s, t = 1, n, —дробные идеалы, состоящие из малых простых идеалов, а в целые идеалы vν входят те большие простые идеалы, для которых k1 ≤ ν <k2.

Общим знаменателем дробных идеалов ν = 1, n, является идеал

m21 . . .m2n, умноженный  на идеал равный общему знаменателю идеалов ν = 1, n. Поскольку в дроби произошло сокращение по крайней мере на идеал то по лемме 1

 

Из равенств (14), (15), (16), (17) и (18) следует, что

 

 

Функция Куммера f(z) в точности принадлежит этому классу, так как из сказанного выше следует, что идеал может быть сокращён только на те большие простые идеалы, которые входят в произведение (13), т. е. на Bn.

СЛУЧАЙ 2. Пусть v1 > v2 > 0. Тогда в (5) и в (8) k1 > k2, и поэтому выполняются условия утверждения 1 следствия 2, а именно если большой простой идеал p удовлетворяет условию (5), то этот идеал делит числитель, но не делит знаменатель дроби (4) при ν = k2. По следствию 2 функция f(z) в точностипринадлежит классу

СЛУЧАЙ 3. Пусть v1 = v2 > 0. Тог да при ∆ = 0 в равенстве (7) u1 + k1= u2+k2 и u1−u2 ∈ Z (при ∆ ≠0 соответствующий идеал p малый). При u2 > u1выполняется неравенство k1 > k2 и, как и в предыдущем случае, дробь не сокращается на большой простой идеал p, удовлетворяющий условию (5),