Есть решение
системы (2.12) такое, что
Доказательство:
Ввведем обозначения
Из формулы (2.14)
имеем:
Исходя
из наших условий, получим оценки для величин и
Рассмотрим
сначала случай . Используя условие (2.13), имеем:
следовательно,
Для
оценки , воспользовавшись соотношением можем представить эту величину в виду:
то в силу нашего
следствия к теореме 1 получаем:
поэтому
Следовательно,
существует обратная матрица
при том, что тогда
(2.15)
Теперь из формулы
(2.14) выводим
(2.16)
Далее
из формулы (2.13) слудет:
Отсюда на основании
(2.12) будем иметь:
где
Поэтому,
учитывая неравенство (2.16) мы получим:
(2.17)
Итак,
для точки мы имеем:
и, кроме того,
где
Отсюда получаем:
(2.18)
Следовательно,
мы снова находимся в условиях теоремы
с той
только разницей,
что вместо окрестности имеем
окрестность , вложенную в первую.
Повторяя
аналогичные рассуждения, мы установим,
что
последовательные
приближения xiP)(p~ 1, 2, ...) имеют смысл и таковы,
что
причем
где постоянные и связаны между собой рекуррентными
соотношениями
(2.19)
и
(2.20)
Покажем,
что для последовательности приближений выполнен критерий Коши. Действительно,
при имеем:
Поэтому
если и что эквивалентно критерию Коши. Отсюда
следует, что существует
Убедимся теперь,
что есть решение системы (2.11).
Из соотношения (2.13) имеем:
Переходя в этом
равенстве к пределу при и учитывая, что при этом
а также, что непрерывна и ограничена в , будем
иметь:
Отсюда в силу
непрерывности функции получим:
то есть есть решение системы
(2.11). Кроме того,
Теорема доказана
полностью.
2.3 Быстрота сходимости
процесса Ньютона
Теорема: Если выполнены условия (2.11)-(2.14) из
предыдущей главы, то для последовательных
приближений справедливо неравенство
где — решение системы и определяется
формулой (2.12) из предыдущей главы.
Доказательство:
Используя соотношения (2.19) и (2.20) из предыдущей
главы, имеем:
Отсюда получаем
(2.21)
Далее,
Потому
Так
как
то при имеем:
Отсюда, учитывая,
что получаем
Переходя
к пределу при , окончательно находим:
где
Таким образом,
при сходимость процесса Ньютона—сверхбыстрая.
В частности, при будем иметь:
2.4 Модифицированный
метод Ньютона
При
построении процесса Ньютона
(2.22)
существенным
неудобством является необходимость для
каждого шага
наново вычислять
обратную матрицу . Если матрица
непрерывна
в окрестности искомого решения и начальное
приближение достаточно близко , то приближенно можно
положить:
и мы, таким образом,
приходим к модифицированному процессу
Ньютона
(2.23)
, где . Заметим, что для процессов
(2.22) и (2.23)
первые приближения и совпадают между собой, т. е.
Сходимость
модифицированного процесса Ньютона
(2.23) исследовалась еще и Л. В. Канторовичем
.
Теорема: Если выполнены
условия (2.12) — (2.15) и
то модифицированный
процесс Ньютона (2.23), определяемый
начальным приближением , сходится к решению системы
причем
(2.24)
где норма понимается
в смысле .
Доказательство: Рассмотрим вектор-функцию
(2.25)
где .
Очевидно
(2.26)
Отсюда в частности,
(2.27)
Методом математической
индукции докажем, что все приближения содержатся в окрестности точки , т.
е.
(2.28)
Действительно,
при равенство (2.28) очевидно, так как
в силу
условия (2.23)
теоремы имеем:
Пусть
теперь для некоторого р выполнено неравенство
(2.28). Тогда,
используя лемму,
имеем:
Используя
неравенство (2.28), находим:
что и доказывает
наше утверждение.
Так
как условия теоремы предполагаются
выполненными,
то система имеет корень такой, что .
Рассмотрим
разность , где . Учитывая, что,
используя нашу
лемму, получаем:
(2.29)
где
Далее:
(2.30)
где Из формулы (2.24) имеем:
где символ Кронекера и . Поэтому
и
Следовательно,
и, значит. на
основании (2.30),
Так как точка ,
очевидно, принадлежит окрестности точки , то
и, таким образом,
(2.31)
Учитывая неравенство
(2.31), из неравенства (2.29) выводим:
откуда
При из последнего неравенства
вытекает, что
Теорема доказана
полностью.
Заключение.
В
выпускной квалификационной работе
рассмотрены различные методы решения
систем нелинейных уравнений. В первой
главе рассмотрены четыре метода: метод
простой итерации. Хорд, Ньютона и методы
спуска. Во второй главе раскрыт метод
Ньютона для решения нелинейных уравнений.
Более
подробно рассмотрен метод Ньютона для
решения нелинейных задач: существование
корней, сходимость процесса, быстрота
сходимости процесса. Приведены примеры,
теоремы и доказательства к ним.
Список использованной литературы
Б.П.
Демидович, В.А.Марон, Э.З.Шувалов. Численные
методы
анализа.
-М., Наука , 1967 .
2. С.Мизоката.Теория уравнений с частными
производными.
-М.,
Мир, 1977.
3. Н.С.Пискунов. Дифференциальные и интегральные
исчисления,
том
2 . -М., Наука, 1972 .
4. А.А.Самарский. Теория разностных схем.
-М., Наука , 1972 .
5. С.К. Годунов. Уравнения математической
физики . -М., Наука, 1971.
6.
Д.П.Голосков. Уравнения математической
физики.
-С-Пб.,
Питер, 2004