Решения систем линейных уравнений

 

Есть решение системы (2.12) такое, что

 

Доказательство: Ввведем обозначения

 

 

Из формулы (2.14) имеем:

 

Исходя из наших условий, получим оценки для величин и

Рассмотрим сначала случай . Используя условие (2.13), имеем:

 

следовательно,

 

 

Для оценки , воспользовавшись соотношением можем представить эту величину в виду:

 

 

то в силу нашего следствия к теореме 1 получаем:

 

поэтому

 

Следовательно, существует обратная матрица

 

при том, что тогда

                                                                          (2.15)

Теперь из формулы (2.14) выводим

                                                  (2.16)

Далее из формулы (2.13) слудет:

 

Отсюда на основании (2.12) будем иметь:

 

 

где

 

Поэтому, учитывая неравенство (2.16) мы получим:

                    

                                                                                (2.17)

Итак, для точки мы имеем:

 

и, кроме того,

 

где

 

 

Отсюда получаем:

                  (2.18)

Следовательно, мы снова находимся в условиях теоремы с той

только разницей, что вместо окрестности имеем

окрестность , вложенную в первую.

Повторяя аналогичные рассуждения, мы установим, что

последовательные приближения xiP)(p~ 1, 2, ...) имеют смысл и таковы,

что

 

причем

 

 

где постоянные и связаны между собой рекуррентными соотношениями

                                                                                              (2.19)

и

                                                                        (2.20)

Покажем, что для последовательности приближений выполнен критерий Коши. Действительно, при имеем:

 

Поэтому

 

если и что эквивалентно критерию Коши. Отсюда следует, что существует

 

Убедимся теперь, что есть решение системы (2.11). Из соотношения (2.13) имеем:

 

Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая, что при этом

 

 

а также, что непрерывна и ограничена в , будем

иметь:

 

Отсюда в силу непрерывности функции получим:

 

то есть есть решение системы (2.11). Кроме того,

 

 

Теорема доказана полностью.

 

2.3 Быстрота сходимости процесса Ньютона

Теорема: Если выполнены условия (2.11)-(2.14) из предыдущей главы, то для последовательных приближений справедливо неравенство

 

где — решение системы и определяется формулой (2.12) из предыдущей главы.

Доказательство: Используя соотношения (2.19) и (2.20) из предыдущей главы, имеем:

 

Отсюда получаем

                                                                                                (2.21)

Далее,

 

Потому

 

Так как

 

то при имеем:

 

 

 

 

Отсюда, учитывая, что получаем

 

Переходя к пределу при , окончательно находим:

 

где

 

Таким образом, при сходимость процесса  Ньютона—сверхбыстрая. В частности, при будем иметь:

 

 

2.4 Модифицированный метод Ньютона

При построении процесса Ньютона

                                       (2.22)

существенным неудобством является необходимость для каждого шага

наново вычислять обратную матрицу . Если матрица

непрерывна в окрестности искомого решения и начальное

приближение достаточно близко , то приближенно можно положить:

                                          

и мы, таким образом, приходим к модифицированному процессу Ньютона

                                                                     (2.23)

, где . Заметим, что для процессов (2.22) и (2.23)

первые приближения и совпадают между собой, т. е.

 

Сходимость модифицированного процесса Ньютона  (2.23) исследовалась еще и Л. В. Канторовичем .

Теорема: Если выполнены условия (2.12) — (2.15)  и

 

то модифицированный процесс Ньютона (2.23), определяемый  начальным приближением , сходится к решению системы

 

причем

                                (2.24)

где норма понимается в смысле .

Доказательство: Рассмотрим вектор-функцию

                                                                          (2.25)

где .

Очевидно

                                     (2.26)

 

Отсюда в частности,

                                                       (2.27)

Методом математической индукции докажем, что все приближения содержатся в окрестности точки , т. е.

                                                                                         (2.28)

Действительно, при равенство (2.28) очевидно, так как в силу

условия (2.23) теоремы имеем:

 

Пусть теперь для некоторого р выполнено неравенство (2.28). Тогда,

используя лемму, имеем:

 

Используя неравенство (2.28), находим:

 

что и доказывает наше утверждение.

Так как условия теоремы  предполагаются выполненными,

то система имеет корень такой, что .

Рассмотрим разность , где . Учитывая, что,

 

используя нашу лемму, получаем:

                  (2.29)

где

 

Далее:

                         (2.30)

где Из формулы (2.24) имеем:

 

где символ Кронекера и . Поэтому

 

и

 

Следовательно,

 

и, значит. на основании  (2.30),

 

Так как точка , очевидно, принадлежит окрестности точки , то

 

и, таким образом,

                                                                                (2.31)

Учитывая неравенство (2.31), из неравенства  (2.29) выводим:

 

откуда

 

При из последнего неравенства вытекает, что

 

Теорема доказана полностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В выпускной квалификационной  работе рассмотрены различные методы решения систем нелинейных уравнений. В первой главе рассмотрены четыре метода: метод простой итерации. Хорд, Ньютона и методы спуска. Во второй главе раскрыт метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 

  Более подробно рассмотрен метод Ньютона для решения нелинейных задач: существование корней, сходимость процесса, быстрота сходимости процесса. Приведены примеры, теоремы и доказательства к ним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Б.П. Демидович, В.А.Марон, Э.З.Шувалов. Численные методы

анализа. -М., Наука , 1967 .

     2. С.Мизоката.Теория уравнений с частными производными.

-М., Мир, 1977.

     3. Н.С.Пискунов. Дифференциальные и интегральные исчисления,

том 2 . -М., Наука, 1972 .

     4. А.А.Самарский. Теория разностных схем. -М., Наука , 1972 .

     5. С.К. Годунов. Уравнения математической физики . -М., Наука, 1971.

6. Д.П.Голосков.  Уравнения математической физики.

-С-Пб., Питер, 2004