Решение простейших тригонометрических уравнений

 

 

 

 

 

 

Решение простейших тригонометрических уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подготовила ученица 10 «А» класса МОУ СОШ № 1 г.п.п. Чистые Боры

Разгуляева Анастасия

Преподаватель: Зарубина Елена Борисовна

                                                                     2013 г.

Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Уравнение Sin x = a, при  |а| ≤ 1, где а [;]

x=arcSin a + , где k Z

Примеры:

1)Sinx= -

x=arcSin (-) +, где k Z

x= (-arcSin ) +, где k Z

x=( - ) +, где k Z

x=  +, где k Z

x=  +, где k Z

Ответ: x=  +, где k Z

2) Sin() =

Sin =

Sin =

 

= arcSin( + , где k Z

= arcSin + , где k Z

= + , где k Z

= + , где k Z

= + , где k Z

= + , где k Z

Ответ: + , где k Z

3)2Sin(3x - = -

Sin(3x - =

3x - = arcSin + , где k Z

3x - = arcSin + , где k Z

3x - = + , где k Z

3x - = + , где k Z

3x = + , где k Z

x = ++ , где k Z

Ответ: ++ , где k Z

4) 2Sin (

Sin (

= arcSin + , где k Z

= + , где k Z

= + , где k Z

=  - , где k Z

=  - , где k Z

=  - , где k Z

Ответ:- , где k Z

5)

Sin ( =

= arcSin + , где k Z

= + , где k Z

=   + , где k Z

x =   + , где k Z

Ответ:   + , где k Z

Частные случаи:

а) Sinx= -1

x= + 2, где Z

Пример:

Sin ( +1=0

Sin (= -1

 

 

 

 

Частный случай

= + 2, где Z

= ++ 2, где Z

= + 2, где Z

x = + 4, где Z

Ответ:+ 4, где Z

         б)Sin x = 0

             x=, где Z

Пример:

Sin (

Частный случай:

= , где Z

= + , где Z

x = + , где Z

x = + , где Z

Ответ: + , где Z

в) Sin x = 1

x= + 2, где Z

Пример:

Sin ( -1=0

Sin (= 1

 

Частный случай

= + 2, где Z

= ++ 2, где Z

= + 2, где Z

x = + 4, где Z

Ответ:+ 4, где Z

2. Уравнение Сos x = a,  при  | a | ≤ 1, где а [ -1;1]

x= ± arcCos a + 2, где Z

Примеры:

1)Сos x =

x= ± arсCos + 2, где Z

x= ± + 2, где Z

Ответ: ± + 2, где Z

2) 2Сos x -1 =0

2Сos x  =1

Сos x  =

x= ± arсCos + 2, где Z

x= ± + 2, где Z

Ответ: ± + 2, где Z

3)Сos (-2x)=

Cos2x =

2x= ± arcCos   + 2, где Z

2x= ± + 2, где Z

2x= ±+ 2, где Z

2x= ±+ 2, где Z

x= ± + , где Z

Ответ: ± + , где Z

4)2Сos ()=

Сos ()=

=± arcCos + 2, где Z

 

=± + 2, где Z

=± + 2, где Z

= ± + 4, где Z

= ± + 4, где Z

Ответ: ± + 4, где Z

5) 2Cos (

Cos (

= ± arcCos + 2, где Z

= ±  + 2, где Z

= ±  + 2, где Z

= ±  - , где Z

 ±  - , где Z

Частные случаи:

а) Cos x = -1

x = 2, где Z

Пример:

Cos(+ 2x) = -1

Частный случай

+2x = 2, где Z

 

2x= - +2, где Z

 

2x= 2, где Z

x =  , где Z

Ответ:  , где Z

 

 

б) Cos x= 0

x = , где Z

Пример:

Cos(+ 2x) = 0

+ 2x = , где Z

2x = , где Z

2x = , где Z

x = , где Z

Ответ: , где Z

в)Cos x= 1

x = , где Z

Пример:

Cos(+ 2x) = 1

+ 2x = , где Z

 

2x = , где Z

x = , где Z

Ответ: , где Z

3. Уравнение tg x= a, где а (;)

x = arctg a +

Пример:

1. tgx +  = 0

tgx =

x = arctg( )+

x = (arctg) +

x= +

Ответ: +

2)tgx = 1

x = arctg 1 +

x = +

Ответ: +

3)tgx=0

x = arctg 0 +

x =

Ответ:

4)tgx=-1

x = arctg (-1) +

x =(- arctg 1) +

x =  -  +

Ответ: -  +

5)tg ( + = -1

+ = arctg (-1) +

 

+ = ( - arctg 1) +

 

+ = +

 

= +

 

=

 

x = 

Ответ:

4. Уравнение сtg x= a

x = arcctg (a) +

Примеры:

1)сtg x -1 = 0

сtg x = 1

сtg x =

 

1)x = arcctg () +

x= +

2)Уравнение  сtg x =  равносильно уравнению tg =  , тогда

x  = arctg ( +

x= +

    2) сtg x=-1

x = arcctg ( +

x= - arcctg +

x = - +

x= +

3)ctg x =0

x = arcctg 0 +

x =  +

Ответ:  +

4) ctgx=1

x = arcctg 1 +

x = +

Ответ: +

5) ctg (= 1

ctg = 1

ctg = 1

 

= arcctg ( - 1) +

= ( - arcctg1) +

= ( - ) +

= () +

= - +

 - +