Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple

Приведем несколько примеров решения тригонометрических уравнений численно:

_{1. х²=cos(x)}

 

 > x=fsolve(x*x=cos(x),x);

_{2. sinx²+cosx=0}

 

> fsolve(sin(x^2)+3*cos(x)=0,x);

3. sin²x+sinx=0

 

> fsolve((sin(x))^2+sin(x)=0,x);

_{4. 5cos³x+cosx=sin²x}

> fsolve(5*(cos(x))^3+cos(x)=(sin(x))^2,x);

5. 3sinx+sin²x=4

 

> fsolve(3*sin(x)+(sin(x))^2=4,x);

6. tgx+sin⁴x=48

 

> fsolve(tan(x)+(sin(x))^2=48,x);

7. tg²x+cos³x+tgx=6

 

> fsolve(tan(x)+(sin(x))^2=48,x);

8. arcsinx+arccos²x=8

 

 > fsolve(arcsin(x)+(arrcos))^2=8,x);

_{Решать тригонометрические уравнения можно, опять же, при помощи команды solve.При этом данная команда выдает только главные решения, то есть решения в интервале  [0;2 ].Для того, чтобы получить все решения, следует предварительно ввести дополнительную команду} _EnvAllSolutions:=true.

Например:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(5*(sin(x))^2+12*cos(x)=13,x);

В Maple символ -Z обозначает константу целого типа.

Рассмотрим еще несколько примеров решения тригонометрических уравнений:

1.sin⁴x-cos⁴x=0.5

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve((sin(x))^4-(cos(x))^4=1/2,x);

2. 3cos²x-2sinx=3-3sin²x

> _EnvFllSolutions:=true:

       > solve((3*cos(x))^2-2*sin(x)=3-3*(sin(x))^2,x);

 

 

 

3.3 Решение  систем  трансцендентных уравнений

 

При решении трансцендентных уравнений в явном виде перед командой solve следует ввести дополнительную команду _EnvExplicit := true. Пример решения сложной системы трансцендентных уравнений и упрощения вида решений:

> (z+y-x+2)=15,2*3^(x+1)+3*2^(z+y-x)=66,ln(x+y+z)-3*ln(eg:={7*3^x-3*2^x)-ln(y*z)=-ln(4)}:

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eg,{x,y,z}):

> simplify(s[1]);simplify(s[2]);

Рассмотрим еще один пример решения таких систем: найти все точные решения системы в аналитическом виде.

Для решения данной системы наберем:

> eg:={x^2-5*x*y+6*y^2=0,x^2+y^2=10};

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eg,{x,y});

Теперь найдем сумму двух наборов  решений. Наберем:

> x1:=subs(s[1],x):y1:=subs(s[1],y):

> x2:=subs(s[2],x):y2:=subs(s[2],y):

> x1+x2;y1+y2;

 

3.4 Решение  функциональных уравнений

 

Универсальная команда solve позволяет решать функциональные уравнения , но в результате получается решение в неявном виде. Однако Maple может работать с такими решениями. Неявное решение функционального уравнения можно попытаться преобразовать в какую-либо элементарную функцию с помощью команды convert.Например решим такое уравнение:f(x)²-3f(x)+2x=0.

> F:=solve(f(x)^2-3*f(x)+2*x,f):

> f:=convert(F(x),radical);

 

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий данный метод: найдите функциюf(x), удовлетворяющую уравнению f(x)²-2f(x)=x.Наберем:

 > F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f):

> f:=convert(F(x),radical);

 

 

_{4 СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ  НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ}

 

Нелинейные уравнения в Maple можно решать и символьно с помощью все той же команды solve(eg,x),где eg –уравнение,x-переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Если уравнение имеет несколько решений, которые понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k-ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером к в квадратных скобках: name[k]. Таким образом, над полученными решениями можно производить различные математические операции: складывать, умножать, упрощать, то есть все то, что мы уже рассматривали при численном решении уравнений. Рассмотрим некоторые особенности при работе с данным видом уравнений.

 

4.1 Решение  функциональных и рекуррентных  уравнений

 

Функциональные уравнения  решаются с помощью все  той же команды solve, например:

> F:=solve(f(x)^2-3*f(x)+2*x,f);

В результате мы получаем решение в неявном виде, чтобы работать с таким решением, необходимо его преобразовать. Это можно сделать с помощью команды convert,о ней рассказывалось в предыдущем пункте.

Рекуррентные уравнения решаются с помощью команды rsolve (eg,f), где eg-уравнение, а f-функция. Можно задать некоторое начальное условие для функции f(n), тогда получится частное решение данного рекуррентного уравнения. Например:

 > eg:=2*f(n)=3*f(n-1)-f(n-2);

> rsolve({eg,f(1)=0,f(2)=1},f);

Рассмотрим еще несколько примеров, характеризующих данную функцию:

1. > rsolve(f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k));

2. > rsolve(f(n)=3*f(n/2)+5*n,f(n));

3. > rsolve(t(b*n) = a*t(n) + n, t(m));

4.> rsolve({F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1..2)=1}, F, 'genfunc'(x));

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Предвестником появления  систем компьютерной математики стали специализированные программы для математических численных расчетов, работающие в среде Microsoft MS-DOS. Это Eureka, Mercury, первые версии систем Mathcad и MATLAB под операционную систему MS-DOS . Вслед за этим на основе достижений компьютерной математики появились новейшие программные системы символьной математики или компьютерной алгебры. Среди них особенно большую известность получили системы Mathcad под Windows, Derive , Mathematica и Maple . Созданные для проведения символьных (аналитических) преобразований математических выражений, эти системы были в поразительно короткое время доведены до уровня, позволяющего резко облегчить, а подчас и заменить труд самой почитаемой научной элиты мира — математиков-теоретиков и аналитиков.

В данной работе были рассмотрены  основные алгоритмы решения нелинейных уравнений. Следует отметить, что  система Maple легко справляется с уравнениями данного вида, решая их в символьном и аналитическом виде. С это системой легко работать, она не требует какого-то специального знания, поэтому доступна любому пользователю. И, несмотря на свою направленность на самые серьезные математические вычисления, системы класса Maple необходимы довольно широкой категории пользователей: студентам и преподавателям вузов и университетов, инженерам, аспирантам, научным работникам и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в Maple многочисленные и достойные возможности для применения. Особенно эффективно использование Maple при обучении математике и физике. Обширные возможности символьной математики объединяются в ней с прекрасными средствами математического численного моделирования и просто потрясающими возможностями графической визуализации вычислений.

 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Акритас, А. Основы компьютерной алгебры / А. Акритас. -  М.: Мир, 1994.- 348 с.
2. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов. - М.: Высшая Школа, 1994. – 280 с.
3. Боглаев, Ю. П.  Вычислительная  математика и программирование / Ю. П. Боглаев. - М.: Высшая Школа, 1990. – 342 с.
4. Дэвенпорт, Дж. Компьютерная алгебра: системы и алгоритмы алгебраических вычислений / Дж. Девенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье. - М.: Ми, 1991.- 352 с.
5. Дьяконов, В. П. Maple 8 в математике, физике и образовании / В. П. Дьяконов. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 656 с.
6. Прохоров, Пакет символьных вычислений Maple V / Г. В. Прохоров, М. А. Леденев, В. В. Колбеев. - М.: Петит, 1997.-200 с.
7. Савотченко, С. Е. Методы решения математических задач в Maple:учеб. пособие /С. Е. Савотченко, Т. Г. Кузьмичева. - Белгород: :изд. Белаудит, 2001. -166с.