Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2013 в 16:08, курсовая работа

Краткое описание

Системы компьютерной математики в образовании — они становятся не только удобным инструментальным средством для выполнения огромного числа учебных расчетов, но и средством предоставления учащимся, а нередко и педагогам, знаний в области математики, физики и иных наук, использующих математические методы. Это позволяет отнести такие системы к интеллектуальным компьютерным системам представления знаний и к экспертным системам в области математических расчетов. Трудно переоценить и их роль в подготовке высококачественных электронных уроков, учебных курсов и книг, имеющих великолепные (в том числе анимационные) средства визуализации вычислений и «живые» примеры, которые учащиеся могут перекраивать, как говорится, на свой «вкус и цвет».

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………… 3

1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ……………………….. 5

2 ОСНОВНЫЕ ВОЖМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ MAPLE

2.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ………………………………………….. 8
2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ……………………………… 9

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ………………… 10
3.2 РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ……………………………………………………... 12
3.3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ……………………………………………………… 15
3.4 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ……………………………………………………...... 17

4 СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ И РЕКУРЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ……………………………………………………… 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………… 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………. 21

Прикрепленные файлы: 1 файл

решение нелинейных уравнений.doc

— 154.50 Кб (Скачать документ)

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………       3

 

1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ………………………..      5

 

2 ОСНОВНЫЕ ВОЖМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ  MAPLE

 

2.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ…………………………………………..      8

2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ………………………………      9

 

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

3.1 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ…………………     10

3.2 РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ……………………………………………………...        12

3.3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ

      УРАВНЕНИЙ………………………………………………………       15

3.4 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ……………………………………………………......     17

 

4 СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ  НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

4.1 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ И  РЕКУРЕНТНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ………………………………………………………       18

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………       20

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………….    21

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Системы компьютерной математики (СКМ) класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как системы компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений. Новейшая версия Maple 8 позиционируется как универсальная система компьютерной математики, рассчитанная на широкого пользователя. Система содержит средства для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего нас мира, систем и устройств различного назначения.

Цель данной курсовой работы –  изучение литературы по теме “Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple” и изучение области применения.

В качестве задачи поставленной передо мной руководителем, является решение нелинейных уравнений средствами системы Maple.

Заслуженной популярностью системы  Maple (всех версий) пользуются в системах образования многих стран мира. Свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту систему на вооружение и используют ее в научных и учебных расчетах. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило миллион.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

  • мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
  • редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
  • современный  многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
  • мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
  • ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
  • численный и символьный процессоры;
  • систему диагностики;
  • библиотеки встроенных и дополнительных функций;
  • пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется  полный доступ прямо из окна программы. Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.

Системы компьютерной математики в  образовании — они становятся не только удобным инструментальным средством для выполнения огромного числа учебных расчетов, но и средством предоставления учащимся, а нередко и педагогам, знаний в области математики, физики и иных наук, использующих математические методы. Это позволяет отнести такие системы к интеллектуальным компьютерным системам представления знаний и к экспертным системам в области математических расчетов. Трудно переоценить и их роль в подготовке высококачественных электронных уроков, учебных курсов и книг, имеющих великолепные (в том числе анимационные) средства визуализации вычислений и «живые» примеры, которые учащиеся могут перекраивать, как говорится, на свой «вкус и цвет».

 

 

 

1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

В системе Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1.Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-то выражению присваивается имя, например:

> f:=sin(x)+cos(x);

Если задать конкретное значение х ,то получится значение функции f для этого х .Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при х= /4,то следует записать:

> x:=Pi/4;

> f;

После выполнения этих команд переменная x имеет заданное конкретное значение /4.

 Чтобы насовсем  не присваивать переменной конкретного  значения, удобнее использовать  команду подстановки subs({x1=a1, x2=a2,…,},f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i=1,2,…), которые следует подставить в функцию f . Например:

> f:=x*exp(-t);

> subs({x=2,t=1},f);

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, е,p и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf (expr,t), где expr –выражение в числах после запятой. Например, в продолжение  предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

 > evalf(%);

Здесь использован символ (%) для  вызова предыдущей команды.

Так же имеется  возможность переходить в функции  к полярным координатам, после ее определения.

 Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…)  одно или несколько выражений (f1,f2,…). Например, определение функции двух переменных с помощью функционального  оператора выглядит следующим образом:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

 

Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным  способом, когда в  скобках вместо аргументов функции указываются  конкретные значения переменных. В продолжение  предыдущего примера вычисляется значение функции:

 > f(Pi/2,0);

 Способ 3.С  помощью команды  unapply (expr,x1,x2,…),где  expr- выражение, x1,x2,…-набор  переменных, от которых  оно зависит, можно  преобразовать выражение  expr в функциональный  оператор. Например:

> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);

> f(-7,5);

В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида посредством команды piecewise(cond_1,f1, cond_2,f2,…) .

Например, функция     записывается следующим образом:

 > piecewise(x<0,0,0<=x and x<1,x,x>=1,sin(x));

 

А функция f(x)= записывается так:

 

> f:=piecewise(x<-1,x,-1<=x and x<1,-x^2,x>=1,-x);

 

2 ОСНОВНЫЕ  ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ MAPLE  ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Maple –это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики. Работа в Maple проходит в режиме сессии- пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple.

 

 

2.1 Решение уравнений

 

Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x),где eg - уравнение, х – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появиться выражение, которое является решением данного уравнения. Например :

> solve(a*x-b=c,x);

Если уравнение имеет несколько решений, которые могут понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name.Обращение к какому-либо k-ому решению данного уравнения производится  указанием его имени name с номером решения k в квадратных скобках:name[k].Например:

> x:=solve(x^2=a,x);

> x[1];

> x[2];

> x[2];

> x[1]+x[2];

 

 

 

2.2 Решение  систем уравнений

 

 Cистемы уравнений решаются с помощью такой же команды solve({eg1,eg2,…},{x1,x2,…}),только теперь в параметрах команды следует указать в первых фигурных скобках через запятую уравнения ,а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные , относительно которых требуется решить систему. Если будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name.Затем выполняется команда присвоения assign(name).После этого над решениями можно будет производить математические операции.     Например, решим следующую систему:

> s:=solve ({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

> assign(s);simplify(x-y);

Приведем еще  один пример решения  системы уравнений. содержащей три переменные:

  > s:=solve({65*x-2*y+z=98,54*x-y+3*z=38,z+6*x+y=0},{x,y,z});

Найдем сумму  полученных решений:

> s[1]+s[2]+s[3];

 

 

 

 

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Нелинейное уравнение  в общем виде записывается следующим образом: F(X) = 0. Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

1.Алгебраические: anxn+an-1xn-1+…+a0=0

2.Трансцендентные  – это уравнения,  в которых  x является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение  x0, при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти этот корень.

 

3.1 Решение алгебраических  уравнений

 

Для численного решения уравнений используется специальная команда fsolve ( eg ,x ), где eg-уравнение, а x-переменная, относительно которой это уравнение надо разрешить.

Рассмотрим такой  пример: численно решить уравнение 23x5+105x4-10x2+17x=0  на отрезке [-1;1].

Заранее присвоим нашему уравнению имя poly :

  • poly := 23*x^5 + 105*x^4 – 10*x^2 + 17*x:

fsolve( poly, x, -1..1 );

  • fsolve( poly, x, maxsols=3 );

Решим еще одно уравнение, найдя  его корни на отрезках [1;2] и [4;8] .

3x4-16x3-3x2+13x+16=0

  • q := 3*x^4 – 16*x^3 – 3*x^2 + 13*x + 16:

fsolve(q, x, 1..2);

  • fsolve(q, x, 2..5);

fsolve(q, x, 4..8);

Так же можно  найти решение  этого уравнения  на множестве комплексных  чисел, используя  дополнительный параметр complex:

> fsolve(q, x, complex);

 

3.1 Решение алгебраических  уравнений

 

Для численного решения уравнений  используется специальная  команда fsolve ( eg ,x ), где eg-уравнение, а x-переменная, относительно которой это уравнение надо разрешить.

Рассмотрим такой  пример: численно решить уравнение 23x5+105x4-10x2+17x=0  на отрезке [-1;1].

Заранее присвоим нашему уравнению  имя poly :

  • poly := 23*x^5 + 105*x^4 – 10*x^2 + 17*x:

fsolve( poly, x, -1..1 );

  • fsolve( poly, x, maxsols=3 );

Решим еще одно уравнение, найдя  его корни на отрезках [1;2] и [4;8] .

3x4-16x3-3x2+13x+16=0

  • q := 3*x^4 – 16*x^3 – 3*x^2 + 13*x + 16:

fsolve(q, x, 1..2);

  • fsolve(q, x, 2..5);

fsolve(q, x, 4..8);

Так же можно  найти решение  этого уравнения  на множестве комплексных  чисел, используя  дополнительный параметр complex:

> fsolve(q, x, complex);

 

 

3.2 Решение трансцендентных уравнений.

Для решения данной группы уравнений  применяется универсальная команда fsolve.При решении уравнений можно осуществлять упрощение выражений посредством команды simplify(eg).

> eg:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eg);

Приведение подобных членов в выражении  осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений.

С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.

Информация о работе Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple