Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Октября 2013 в 10:21, реферат
Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то эта функция постоянна на промежутке.
Если f'(x) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции y=f(x), например f(x) = 6 (рис. 1), в каждой точке данного промежутка параллельна оси Ox.
Признак постоянства функции на промежутке
Признак возрастания и убывания функции
Условие постоянства функции
Экстремумы функции
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Асимптоты функции
Реферат
Выполнила Алиновская Алина, 1902
Содержание:
Если производная функции
Если f'(x) = 0 на некотором промежутке, то
касательная к графику функции y=f(x), например
f(x) = 6 (рис. 1), в каждой точке данного промежутка
параллельна оси Ox.
II. Условие постоянства
функции
При изучении хода изменения функции на
первом месте появляется вопрос об условиях,
при которых функция сохраняет в данном
промежутке постоянное значение или изменяется
в нём монотонно.
Теорема 1. Пусть функция f(x)
определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;
b] и имеет конечную
производную f'(x), по крайней мере, в открытом
промежутке (а;b). Для того чтобы f(x)
была в [а, b] постоянной, необходимо
и достаточно условие
f'(x) = 0 для х в (а; b).
Доказательство
Необходимость условия
очевидна: из f(х) = const. следует f'(х) = 0.
Докажем теперь обратное.
Достаточность. Предположим,
что f'(х) = 0 в (а; b). Взяв любое х,
, рассмотрим промежуток [а; х]; в нём для
f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа.
Но, по предположению, f'(с) = 0; значит при
всех х
f(x) = f(a) = const.,
и наше утверждение доказано.
В интегральном исчислении важное приложение
найдёт вытекающее отсюда простое
Следствие. Если две функции f(x),
g(x) определены
и непрерывны в промежутке [а; b] и имеют
конечные производные f'(х), g'(х) в промежутке (a;
b), причём
f'(x) =g'(x) (a < x < b),
то эти
функции во всём промежутке [а, b] разнятся
лишь на постоянную:
f(x) = g(x) + C (C = const.).
Доказательство
Для доказательства достаточно применить
теорему к разности f(x) - g(x): так как ей производная
f'(х) — g'(х) в (а; b) сводится к 0, то сама разность
будет постоянной.
III. Признак возрастания (убывания) функции.
Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа существует число с∈(х1, x2), такое, что
(1)
Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1)<F(x2) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x1)>f (х2) — следует из формулы (1), так как x2—x1>0. Доказано убывание функции f на I.
Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 <t2, то f (t1)<f (t2). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.
Замечание 1.
Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
Замечание 2.
Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.
Пример:
Исследовать функцию f(x) = 2x3-3x2+1 на
возрастание и убывание.
Р е ш е н и е. Функция f(x) = 2x3-3x2+1 имеет
производную f '(x) = 6x2-6x в
любой точке интервала (-¥, +¥). Эта производная обращается
в нуль в точках x, удовлетворяющих
уравнению 6x2-6x = 0, то
есть при x = 0 и x = 1.
Исследуем поведение данной функции в
интервалах (-¥, 0), (0, 1) и (1, +¥).
Если -¥ < x < 0, то, f '(x) = 6x2-6x > 0,
то есть в интервале (-¥, 0) данная функция f(x) возрастает.
Если 0 < x < 1, то, f '(x) = 6x2-6x < 0 (так
как тогда 6x2 < 6x),
следовательно, в интервале (0, 1) данная
функцияf(x) убывает.
Наконец, если 1 < x < +¥, то, f '(x) > 0, следовательно
в интервале (1, +¥) данная функция f(x) снова возрастает.
IV. Экстремумы функции
Определение 1.
Точка называется точкой максимума [точкой минимума] функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности выполняется неравенство .
Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции.
Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках — экстремумами функции .
Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то является точкой максимума функции .
Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то — точка минимума функции .
Теорема 3 (Ферма). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если — точка экстремума функции , то .
Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если меняет знак с « » на « » (с « » на « ») при переходе через точку , то — точка минимума (точка максимума) функции .
V. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вторая
производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема
в точке ( x0 ), то её
производная называется второй производной функции f ( x )
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую
функция меняет выпуклость на вогнутость или
наоборот, называется точкой перегиба.
П ри м ер . |
Рассмотрим график функции y = x3 : |
VI. Асимптота
Аси́мпто́та (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
Виды асимптот
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
Информация о работе Признак постоянства функции на промежутке