Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Теорема 3. Если в некоторой точке х₀ функция у = f(x) имеет производную f’(х₀) и f’(х₀)≠0, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума.

 

Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю. Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х³ имеет в точке х = 0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х при всех значениях х, в том числе и при х = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

Определение. Значения аргумента х, при которых производная f (х) равна нулю, называются стационарными точками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная составляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее. В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее.

 

Правило нахождения экстремума

Чтобы найти экстремум  функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки  разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в  которых определяется знак производной.

 

2.4. Нахождение экстремума при помощи второй производной

Производная f’ (х) функции f(x) сама есть функция, и потому можно взять ее производную Она называется  второй производной функции f(x) и обозначается через f’’(х). Таким образом,

f’ (х) и f’’ (х) называются первой и второй производными функции f(x).

Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

Доказательство от противного. Пусть для определенности f'(c)> О, т. е.

Предположим, что при  стремлении х к нулю приращения у и х имеют разные знаки. Тогда отношение у/ х отрицательно и его предел f '(с) < 0, что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f'(c)=0, a вторая производная положительна, f "(с)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум; если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х - с функция f(x) имеет максимум.

Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции.

Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2δ точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента.

Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

 

Отсюда:

f’(c - Δx) < f(c)=0       (1)

Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

f’(c + Δx) - f(c)<0

Отсюда:

f’(c + Δx) > f(c)=0       (2)

Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема  и в случае f"(с)<0.

Доказанная теорема  определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого  тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением  второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

Если знак числа f" (с),	то при х = с f(x) имеет
плюс минус	минимум максимум

Если f'(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

2.5 Наибольшие и наименьшие значения функции

Определение. Функция достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке , если для любого имеет место неравенство ( ).

Введем для наименьшего  и наибольшего значений следующие  обозначения: ( ).

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

 

Следствие. Если функция дифференцируема на интервале , то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений, либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (рис. 1.)

Для функции, график которой  изображен на рис. 1, имеются две  точки максимума ( ) и одна точка минимума ( ), но для нее , а .

Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема.

Теорема 2. Пусть - единственная точка экстремума функции на множестве X. Тогда, если - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Рассмотрим пример. На рис. 2а - единственная точка минимума функции на промежутке . Поэтому .

На рис. 2б - единственная точка максимума функции на промежутке . Поэтому .

 

Пусть - периодическая непрерывная на интервале функция. Тогда имеет место теорема.

Теорема 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

 

Например, на рис. 3 , а , где Т- главный период функции, а .

Если же исследуемая  функция  не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями.

 

Правила нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутках ( [ a;b], (a;b) , (- ∞;+∞) ).

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b], необходимо:

- найти производную  функции;

- найти критические точки функции (то есть точки, где производная равна нулю или не существует);

- найти значение функции  на концах отрезка и в критических  точках, лежащих внутри отрезка;

- из полученных значений  выбрать наибольшее и наименьшее.

b) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке (a; b) нужно:

- рассмотреть задачу  на отрезке [a; b] (см. а);

- если наибольшее (наименьшее) значение достигается во внутренней  точке отрезка [а;b], то на открытом промежутке (а;b) оно достигается в этой же точке;

- если наибольшее (наименьшее) значение достигается на концах отрезка [a;b], то на открытом промежутке (a;b) оно не достигается.

Эту же задачу можно решить, исследовав функцию на промежутке (а; b) на экстремумы, взяв наибольший максимум в качестве наибольшего значения функции, а наименьший минимум - в качестве наименьшего значения функции на (а;b).

c)  Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на бесконечных промежутках (-∞; +∞), (-∞;b), (а; +∞) нужно:

- исследовать функцию  на экстремумы на данном промежутке;

- найти предел функции  при  ;

- из полученных экстремумов  функции выбрать наибольший максимум  и наименьший минимум и сравнить их с найденными пределами функции на бесконечности.

 

3. Задачи на оптимизацию.

В этом пункте мы поговорим  о задачах, в которых требуется наибольшее или наименьшее значение какой-либо величины (такие задачи называют иногда задачами на оптимизацию).

Как показывает опыт, наибольшие трудности испытывают абитуриенты  на первом этапе решения задачи на оптимизацию, когда оптимизируемую величину (т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) нужно выразить через какую-либо независимую переменную, т.е. составить функцию — математическую модель данной в задаче реальной ситуации (этот этап решения обычно называют этапом формализации). Трудности возникают часто и при определении того, на каком промежутке изменения аргумента надо исследовать построенную функцию (исследовать на предмет отыскания у_наи6 или y_наим).

Мы предлагаем при  решении задач на оптимизацию придерживаться следующего плана:

1. Проанализировав условия задачи, выделить оптимизируемую величину и обозначить ее буквой у (или s,v,R,r и т.д. в зависимости от содержания задачи).

2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин (сторону, угол и т. п.) принять за независимую переменную и обозначить ее буквой х; установить реальные границы изменения х в соответствии с условиями задачи.
3. Исходя из условий задачи, выразить у через х и известные величины.
4. Для полученной на шаге 2) функции  у = f(х) найти наибольшее (или наименьшее, в зависимости от условия задачи) значение в промежутке реального изменения х, который указан на шаге 2).
5. Исходя из результатов исследования, полученных на шаге 4), записать ответ в терминах предложенной задачи.

Следующие параграфы посвящены подбору решения задач по предложенному правилу. Все задачи классифицированы на 3 вида: алгебраические, геометрические, физические.

 

6. Алгебраические задачи.

Задача 1. Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

Решение: Обозначим искомое число через х. Сумма х² + х = f (х) будет, очевидно, функцией, подлежащей исследованию. Имеем: f’(х) = 2x+ 1; решаем уравнение 2x+1=0 и получаем х=1/2. Так как f" (х) = 2 > 0 для всех х, в том числе и для х=-1/2, то f (х) в точке х = -1/2 имеет минимум:

f( )= - =- . Это значение, очевидно, будет наименьшим значением функции, так как на всей области своего существования функция не имеет больше точек экстремума.

 

Задача 2. На странице текст должен занимать 384 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение: Пусть длина печатного текста будет х см., причем , тогда ширина его - см. Размеры страницы соответственно будут (х+4)см и ( +6)см (рис.1). Площадь страницы S=(х+4)( +6)= .

Найдем производную S(x):

, при =0 6х²=1536 х₁ = 16 или х₂ = - 16 (0;384).

Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см, см.

Ответ: 20 см. и 30 см.

 

3.2. Геометрические  задачи.

Задача 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы ее прочность была наибольшей?

Решение. 1) Оптимизируемая величина — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей. Обозначим эту величину буквой у.

2) Прочность зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки. Объявим независимой переменной ширину балки, обозначим ее буквой х. Поскольку осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R (рис. 2), то (при и при прямоугольник «вырождается» в отрезок, равный диаметру окружности) — таковы реальные границы изменения независимой переменной: .

 3) Высота h прямоугольника связана с его шириной соотношением (по теореме Пифагора). Значит, Прочность балки у пропорциональна произведению , т. е. (где коэффициент k — некоторое положительное число).