Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Февраля 2013 в 17:33, курсовая работа

Краткое описание

Цель данной работы: показать применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений.
Чтобы достичь цели работы, потребуется решить следующие задачи:
изучить научную и научно-методическую литературу по теме.
проработать теоретическую часть материала.
подобрать и прорешать текстовые задачи на данную тему.

Содержание

I. Введение
II. Основная часть
1. Производная функции
1.1. Понятие о производной функции
1.2. Касательная к кривой
1.3. Геометрический смысл производной
1.4. Таблица элементарных производных. Правила дифференцирования
2. Изучение функций с помощью производной:
2.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
Максимум и минимум функций
Экстремумы функции.
Нахождение экстремума при помощи второй производной
Наибольшее и наименьшее значение функции.
3. Задачи на оптимизацию.
3.1. Рекомендации по решению текстовых задач
3.2. Алгебраические задачи
3.3. Геометрические задачи
3.4. Физические задачи
III. Заключение
IV. Список литературы

Прикрепленные файлы: 1 файл

КУРСОВАЯ готовая1.doc

— 3.47 Мб (Скачать документ)

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной в точке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b] график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (рис.1).


Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (рис.2), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю


f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (рис.3), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные  значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е. f '(x) ≤ 0.


Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ,

и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (рис.3). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (рис.3).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ≤ х ≤ b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На рис.2 и рис.3 такими точками являются Р и Р1.

Теорема 1. (Необходимое условие возрастания функции на данном промежутке.) Если функция у = f(x) на данном промежутке возрастает и имеет производную f’(x), то в любой точке х0, принадлежащей этому промежутку, f’(х0) ≥ 0.

По определению f’(x0)= lim .

              Δ x→0

Так как нас интересует предел функции при х 0, то можно ограничиться рассмотрением только таких значений х (достаточно малых по абсолютной величине), при которых х0+ х принадлежит данному промежутку возрастания функции.

Тогда при х > 0 имеем x0+ х >x0 и f(x0+ x)>f(x0), т.е. >0, а при х < 0 имеем х0+ х<x0 и т.е. f(х0 + х)<f(x0),т.е. >0.

Все рассматриваемые значения функции положительны.

Можно доказать, что если все значения функции на некотором  промежутке, содержащем данную точку а, положительны, то и предел ее в точке а не может быть отрицательным числом,  откуда и следует, что

f’(x0)=lim ≥0.

    Δ x→0

Аналогично доказывается теорема, выражающая необходимое условие  убывания функции на данном промежутке.

Если функция у = f(x) на данном промежутке убывает и имеет производную, то в любой точке х, принадлежащей этому промежутку, f’(х) < 0.

Из наглядных  соображений мы ранее пришли к  выводу, что если во всех точках промежутка производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает, а если во всех точках промежутка производная отрицательна, то функция убывает. К сожалению, приходится ограничиваться на уроке только формулировкой этих теорем, так как не рассмотрен ряд вопросов, необходимых для доказательства

 

2.2.Максимум и минимум функции

Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0 Тогда х называется точкой максимума (соответственно точкой минимума) функции f, если существует такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию | х |<δ, выполняется неравенство f(x0+ x)≤f(x0) (соответственно неравенство f(x0+ x)≥ f(x0))

Если существует такое δ>0, что для всех х≠0, таких, что | х |<δ, выполняется неравенство f(x0+ x)<f(x0) (соответственно неравенство f(x0+ x)>f(x0)), то точка х0 называется точкой строгого максимума (соответственно строгого минимума).

Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума.

Для точек строгого экстремума функции f и только для них приращение функции f=f(x0+ x)-f(x0) не меняет знака при переходе аргумента через точку экстремума х, т. е. при изменении знака х. Именно f <0 для точек строгого максимума и f >0 для точек строгого минимума независимо от знака достаточно малого x≠0.

Теорема 1. (необходимые условия экстремума). Пусть точка х0 является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой окрестности точки х0 . Тогда либо производная f’ (х0) не существует, либо f’ (х) = 0.

Это непосредственно  следует из теоремы Ферма, примененной  к интервалу (х0-δ, х0+ δ), где δ есть то δ, которое указано в определении точек экстремума.

Отметим, что  условие f’(х0) = 0 не является для дифференцируемой в точке х0 функции достаточным условием наличия в точке экстремума, как это показывает пример функции f(x) = х3 , которая в точке х = 0 имеет производную, равную нулю, но для которой эта точка не является точкой экстремума.

Определение 2.Точка функции у = f(x), в которой производная f’ (х0) равна нулю или не существует, называется критической.

Замечание 1: (достаточные условия экстремума). Пусть функция f определена на интервале (а, b) и непрерывна в точке х0 ϵ(a,b). Если функция f (строго) монотонно возрастает на интервале (а, х0) и (строго) монотонно убывает на (х0,b), то точка х0 является точкой (строгого) максимума; а если функция f (строго) монотонно убывает на (a, х0) и (строго) монотонно возрастает на (х0,b), то точка х0 является точкой (строгого) минимума.

Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0 ϵ(a,b), в которой она является, однако, непрерывной. Если производная f’ (х) меняет знак при переходе через точку х0 (это означает, что существует такое число δ>0, что значения производной f’ на каждом интервалe (х0 – δ, х0) и (х0, х0 +δ) имеют один и тот же знак, а на разных — противоположный), то точка х0 является точкой строгого экстремума.

При этом, если для х0 – δ <x <x0 выполняется неравенство f’ (х) > 0, а для х0+ δ >x >x0 — неравенство f’(x)<0, то х0  является точкой строгого максимума, а если для х0 – δ <x <x0 выполняется неравенство f’(x)<0, а для х0+δ >x >x0 — неравенство f' (х)>, то точка х0 является точкой строгого минимума.

Доказательство. Рассмотрим первый случай f’ (х) > 0 для х < х0 и f’(х) < 0 для х > х0, где х принадлежит окрестности точки х0 , указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа, f=f(x)-f(x0) =f’ (ξ)(x - x0), где ξ, лежит на интервале с концами х0 и х.

Если х < х0 , то х - х0 < 0 и f’ (ξ)> 0, так как х < ξ < х0. Если х > х0 , то х - х0 > 0 и f’ (ξ)< 0, так как в этом случае х0 < ξ < х. Таким образом, всегда f<0, т. е. в рассмотренном  случае  точка х0 является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай. Теорема доказана.

Из замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа  следует, что, если функция имеет  во всех точках некоторой окрестности  данной точки х0 производную одного и того же знака, кроме, быть может, самой точки х0 , в которой производная либо равна нулю, либо вовсе не существует, однако сама функция непрерывна, т. е. если производная непрерывной функции «не меняет знака» при переходе через точку х0, то эта точка заведомо не является точкой экстремума рассматриваемой функции (более того, функция в указанной окрестности строго монотонно возрастает или убывает в зависимости от того, положительна или отрицательна производная в точках х ≠ х0).

Следует обратить внимание на то, что случаями, разобранными в теореме 3 и в сделанном после ее доказательства замечании, т. е. случаями, когда в некоторой окрестности данной точки х0  производная с каждой стороны от этой точки сохраняет знак, не исчерпываются всевозможные ситуации: может случиться, что в сколь угодно малых тех или иных односторонних окрестностях производная функции меняет знак. В этом случае приходится применять другие методы для исследования точек на экстремум.

Введем еще одно понятие, полезное для дальнейшего.

Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0. Точка х0 называется точкой возрастания (убывания) функции f , если существует такое δ > 0, что при х0 - δ< х < х0 выполняется неравенство f(x)<f(х0) (соответственно неравенство f(x)>f(х0)), а при х0 <x< х0 + δ - неравенство f(x) >f( х0) (соответственно неравенство f(x) < f( х0 )).

Таким образом, точки  возрастания и убывания функции f характеризуются тем, что при переходе через них приращение функции f меняет знак, а именно с «—» на «+» в точке возрастания и с «+» на «—» в точке убывания.

Не следует  думать, что если функция определена на интервале, то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут существовать точки, не принадлежащие ни к одному из указанных типов.

Дадим теперь достаточные условия строгого экстремума, а также точек возрастания и убывания в терминах значений высших производных в точке х0 .

 

2.3. Экстремум функции

Признаки существования  экстремума

Теорема 1. (необходимый признак): Если в окрестности 2δ точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема,

2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума. Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0< Δx < δ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c + Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с/Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.

По определению максимума  функции:

f(c- Δx)<f(c) и f(c + Δx)<f(c).

Отсюда: f(c-Δx)-f(c)<0 и f(c + Δx)-f(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

(f(c —Δx)—f(с))/(-Δx))>0         (1);

(f(с + Δx)—f(с)/(+Δx))<0            (2)

Оба отношения (1) и (2) имеют один и  тот же предел при Δx → 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную производную:


 

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не  может быть положительной. Следовательно, f‘(c) = 0,

что и требовалось доказать.

 

Теорема 2. (достаточный признак). Если в окрестности 2δ точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с положительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке с, поэтому число f(c) есть общий предел для f(c x) и f(c+ x) при х 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0< x< ):


Данная функция f(х) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна, и вследствие этого ее значения f(c x) и f(c+ x) возрастают при стремлении х к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1 <x2 f(x1)<f(x2)).


Другими словами, как f(c - х), так и f(c + х) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения х ≠ 0:

f(c x)<f(c) и f(c+ x)<f(c).

Но в таком  случае f(с) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

Так же можно  доказать, что если в окрестности 2 точки х = с:

  1. функция f(x) непрерывна,
  2. производная f '(х) слева от точки х — с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции.

Информация о работе Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений