Основные вопросы, решаемые качественной теорией дифференциальных уравнений

Если исключительные направления отсутствуют или  все они "проходятся" решениями (т. е. не существует решений, входящих в начало с определенной касательной), то возникает центр и фокус проблемы.

Зависимость поведения  решений от параметров системы. Одной  из центральных проблем К. т. д. у. является проблема поведения решений системы, близкой к данной, при условии, что свойства этой последней известны. Рассматривается система

            (8) dy / dx   =   Y ( y,x)  + µ R(y,x,µ)

где m - параметр. Пусть порождающая система, т. е. система (8) при m= 0, обладает нек-рым  свойством. Ставится вопрос, обладает ли тем же свойством система (8) при  малых, но отличных от нуля, m. Классическим примером такой задачи является задача Пуанкаре (см. [2]) о существовании периодических решений. Пусть векторы Y и R имеют период со по х, а порождающая система обладает w-периодическим решением. В этом случае проблема сводится. к рассмотрению квазилинейной системы

             (9) dy / dx   =   Ay  + µ R(y,x,µ)

 

где А- постоянная матрица. Оказывается, что если собственные числа А отличны от 2pki/w, где k- целое число, то система (9) имеет при достаточно малых m единственное w-периодич. решение j(x, m), непрерывное по m, и j(x, 0) = 0. В случае, когда матрица А имеет собственные числа вида 2pki/w, вопрос о существовании и количестве периодич. решений существенно зависит от вида возмущения R( у, х,m). При решении проблемы существования периодич. решений в этом случае весьма полезным оказывается метод усреднения (см. Крылова- Боголюбова метод усреднения).

Аналогичные вопросы  ставятся и для других типов решений: ограниченных, рекуррентных, почти  периодических и т. д. Например., если вектор R равномерно почти периодичен по х, а все собственные числа матрицы 4 имеют ненулевые действительные части, то система (9) при достаточно малом m имеет единственное почти периодич. решение (см. [21] ).

Малого  параметра методом исследуются также вопросы существования у системы (8) интегральных множеств с определенными свойствами. Н. Н. Боголюбов (см. [21] ) рассмотрел с этой точки зрения следующую важную для приложений систему:

             (10) dφ / dt   =   a  + µФ (x,φ,t,µ)

                           dx / dt   =   Ax  + µR  (x,φ,t,µ)

 

где j есть k-мерный, хесть n-мерный векторы, а- постоянный k-мерный вектор, А- постоянная матрица, все собственные  числа к-рой имеют ненулевые  вещественные части. Векторы R и Ф  имеют период 2p по компонентам вектора  ср. При m=0 система (10) имеет интегральную поверхность х=0. Н. Н. Боголюбов доказал, что при достаточно малом m система (10) имеет интегральную поверхность:

x =  (φ,t,µ)

 

где функция f имеет  период 2p по компонентам j и f(t,j, 0) = 0. При этом, если векторы Ф и Rявляются w-периодичными по t, то вектор f также w-периодичен по t. Если все собственные числа матрицы Аимеют отрицательные действительные части, то интегральная поверхность x=f асимптотически устойчива. Отсюда, в частности, вытекает, что если в системе (8) вектор У не зависит от x и при m==0 эта система имеет асимптотически устойчивое по первому приближению периодич. решение, то при достаточно малых m. система (8) имеет в пространстве у, х двумерное, цилиндрическое асимптотически устойчивое интегральное многообразие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

[1] Пуанкаре  А.. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947;

[2] Роinсаre H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1 - 3, P., 1892 - 99;

[3] Ляпунов А.  М., Общая задача об устойчивости  движения, М.- Л., 1950;

[4] его же, "Матем. сб.", 1893, т. "17, в. 2, с. 253-333;

[5] Биркгоф Д.  Д., Динамические системы, пер.  с англ., М., 1941;

[6) Вirkhoff G. D., "Acta Math.", 1922, v. 43, p. 1-119;

[7] Epyгин Н.  П., Приводимые системы, Л.- М., 1946;

[8] его же, Линейные  системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963;

[9] Floquet M. G., "Ann. set. Ecole norm. super.", 1883, ser. 2, t. 12, p. 47-89;

[10] Sturm J. С h., "J. math, pures et appl.", 1836, p. 106-86;

[11] Бендиксон И., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 191-211;

[12] Dеnjоу A., "J. math., pures et appl.", 1932, ser. 9, t. 11, № 3, p. 333-75;

[13] Андронов  А. А., Понтрягин Л. С, "Докл. АН  СССР", 1937, т. 14, № 5, с. 247 - 50;

[14] Смейл С, "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 1, с. 11.3-85;

[15] Плис с  В. А., Нелокальные проблемы теории  колебаний, М.- Л., 1964;

[16] Levinson N., SmithO. К., "Duke Math. J.", 1942, v. 9, 345 2, p. 382-403;

[17] Littlewood J. E.."Acta math.", 1937, v. 97, Ks3 - 4, p. 267-308;

[18] Perron O., "Math. Z.", 1928, Bd 29, S. 129-60;

[19] Фроммер  М., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 212-53;

[20] Dulас Н., "Bull. Soc. math. France", 1923, t. 51;

[21] БoголюбовН. Н.,0 некоторых статистических методах  в математической физике, К., 1945;

[22] Немыцкий  В. В., Степанов В. В., Качественная  теория дифференциальных уравнений,  М., 1949;

[23] Андронов  А. А. и др., Качественная теория  динамических систем второго  порядка, М., 1966;

[24] Коддингтон  Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958;

[25] Лефшец С,  Геометрическая теория дифференциальных  уравнений, пер. с англ., М., 1961.