Орта мектепте математиканы оқытуда ғылыми таным әдістерін пайдалану

Оқушы: Үшбұрыштардың  тең-

Дік белгісі бойынша  дәлелдейміз.                    Оқушы: Тең үшбұрыштардың тең                                   

                                                                              қабырғаларына қарсы жатқан 

Мұғалім: Орынды. Атап айтқанда,                   бұрыштары да тең болады.

Олардың қандай элементтері

бойынша?                                                            Мұғалім: Осы айтылғандай

                                                                              бұрыштарды сызбада кім               Оқушы: АС қабырғасы – ортақ,                       көрсетеді? Олардың теңдігінен

BС = AD, <1=<1¹ – себебі, өзара                        қандай қорытынды жасауға бола-

параллель түзуді үшінші бір                               ды?

түзу қиғанда пайда  болған айқыш

бұрыштар шамасы тең  болады.                          Оқушы: I және II үшбұрыштарда                                               

                                                                               АС – қабырғасы ортақ, одан Мұғалім: Енді осы айтқанда-                              AB=CD және AD=BC екені

рымызды сөзбен қалай                                         шығады.

тұжырымдаймыз?

                                                                                 Мұғалім: Берілген үшбұрыштар-

Оқушы: Бір үшбұрыштың бір                              дың сәйкес қабырғалары өзара

қабырғасы мен екі  бұрышы екін-                        тең. Бұл үшбұрыштардың теңді-

ші үшбұрыштың сәйкес бір                                  гінің қандай белгісі?

қабырғасы мен екі бұрышына                            

тең болса, онда олар өзара  тең                             Оқушы: «Егер бір үшбұрыш-

болады.                                                                   тың үш қабырғасы екінші

                                                                                үшбұрыштың сәйкес үш қабыр-                     

Мұғалім: Ол басқаша не деген                            ғасына тең болса, онда бұл үш-

сөз?                                                                         бұрыштар өзара тең болады»

                                                                                Мұнан әрі AB II BC қабырғала-

Оқушы: Қалған элементтері  де                           рының параллельдігін де осыған               

сәйкес тең деген  сөз, яғни                                   ұқсас дәлелдеуге болады.

AB=CD

 

Мұғалім: Бізге дәлелдеу керегі

осы еді.

 

Оқушылар: Иә.

 

Мұғалім: Енді нені дәлел-

деуіміз керек?

 

Оқушылар: AD=BC

 

Мұғалім: Бұлар да жаңа қарас-

тырылған үшбұрыштардың эле-

менттері. Кім дәлеледейді? Оқу-

шылар дәлелдеп көрсетеді және

 қорытынды жасайды.  Егер төрт-

бұрыштың қарама –  қарсы қабыр-

ғалары қос-қостан параллель

болса, онда ол параллелограмм

болады. Теореманың дәлелдеу

барысын, фигуралар арасын-

дағы қатыстарды көрсететін

символдық жазуды, әрбір  кезең-

ді жеке жолға жазып  отырып,

көрсетуге болады. Оны  тақтаға 

күні бұрын даярлап  қойса да

болады. Бұл жағдайды мұғалім

анализ кезінде толығынан 

пайдалана алады.

 

Тура теореманың дәлелдемесі

 

1. AB = CD;    AD = BC

 

2.

 

 

                                     3. <1 = <1^/; <2 = <2^/; AC=AC

 

 

4. AD II BC;   AB II CD

Кері теореманың дәлелдемесі

 

1. AB II CD;    AD II BC

 

 

2. <1 = <1^/;     <2 = <2^/;

 

 

3.

 

 

                                      4.   AC=AC;   AB=CD;    AD=BC        

 

Бағдарсыздықтар негізгі пікірмен ой қорытындысын жалғастырып ойлау процесін аяқтайды. Соңынан математикалық сөйлем тұжырымдалады. Мұндай жазулар ой қорытындысын тез қалыптастыруға көмектеседі. Егер ойлау бағытын жоғарыдан төмен қарай жүргізсек, онда ол анализдік дәлелдеу болады, ал кері бағытта, яғни төменнен жоғары қарай жүргізсек, ол синтездік дәлелдеу болып шығады

3.Теорема. Шеңберден тыс жатқан нүкте арқылы оған жанама және қиюшы жүргізсек, онда қиюшы мен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі жанама квадратына тең болады.

                                                                                                                        

 

 

 

Шарты: А- шеңберден тыс жатқан нүкте, AD- жанама, AC- қиюшы, AB- қиюшының сыртқы бөлігі. Қорытындысы: AD²=AC*AB (1).

Дәлелдеуі: Әдетте ABD мен ADC үшбұрыштарының ұқсастығын пайдаланып, сәйкес қабырғаларының пропорционалдығын жазады. Алайда, оқушыларға неліктен осылай басталатындығы түсініксіз. Сондықтан, қорытындыны талдап,  проблемалы ахуалға бастаймыз. Ол үшін «(1)- теңдікті басқаша қалай жазамыз? » деген сұрақ қоюарқылы

пропорциясына келтіреміз. «Кесінділердің пропорционалдығы қайдан шығады?» - деу арқылы ойды ұқсас үшбұрышты салуға бастаймыз. Оған пропорцияның өзі нұсқайды. Оны көре білу оқушының бұрынғы біліміне байланысты.  Егер оқушы пропорцияның оң  (сол) жақ бөлігі       ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынасы екендігін еске алса, онда суретте ABD мен ADC ізделінді үшбұрыштар (оған A әрпінің ортақтығы нұсқайды) екенін қиналмай табады.

Енді оқушыларға, «теореманы дәлелдеуді неден бастау керек?»  және «ABD және ADC үшбұрыштарының ұқсастығын неліктен қарастырдық?» деген мәселе түсінікті болады.

Дәлелдемені іздеуді  қорытындыны түрлендіру әдісінен бастадық. Ол дәлелдеудің пайдалы бағытына, яғни есепті жаңа дәлелдеу есебіне келтірді.

4. Дөңгелектің ішінен алынған нүктеден хорда және диаметр жүргізсек, онда хорда бөліктерінің көбейтіндісіне тең болады.

 

Оқыту әдісі ретінде  табу әдісін, әңгімелесуді не проблемалы баяндауды пайдаланып, анализ бен  синтезді қатыстырып теореманы дәлелдеуді студенттерге тапсырады.

5. Инсайттық схема. Әдетте есептерді шығарғанда анализ бен синтезді қолданатынымыз белгілі. Есепті талдау арқылы оның шығару жолын іздестіреміз. Соңынан талқылау жинақталып, табылған шығару әдісін оқушыға көрсету үшін инсайттық схема қолданылады. Исайт математиканы оқыту әдістемесіне кейінірек енген. Мағынасы: «есепті шығарудың кілтін тапқанда оқушы бойын кернейтін қуаныш сезімі» дегенді білдіріп, «осы»,  «иә, таптым» сөздері арқылы беріледі. В.Г.Болтянский және басқалардың «Как учить поиску решения задач?» («Математика в школе» 1988-1, 8-14 беттер) деген мақаласында инсайт үшін қою қара сызық (тұтас, үздік), бағдарсызық пайдаланады.

Біртіндеп түрлендірукезеңдері  нөмірленіп жай жақшаға алынып, олар бағдарсызықпен  (қос тұтас, қос үзік, жалғыз үзік) логикалық жағынан байланыстырылады. Есеп берілгендері штрихталған тіктөртбұрышқа алынып ізделінді (*) мен белгіленеді. Берілгеннен ізделіндіге қарай ирек жіңішке сызықты бағдарсызық жүргізіліп, тұсына «?» белгісі қойылады.. Бұл мақсатты (дәлелдеу керегі) көрсетеді.

Бұлардың барлығы тіктөртбұрышты қоршауға алынады. Осылай пайда болған схеманы инсайттық схема деп атайды. Инсайттық схеманы оқушы түсіну үшін түрлендіру негіздері мен салдарларын көріп, егер геометриялық есеп болса, сызбасымен салыстырып отыруы тиіс. Онсыз логикалық тізбекті суреттейтін цифрлар мен бағдарсызықтар мағынасын түсіну қиын. Алайда оқушыға түсініктірек, қысқа схема жасауға болады.

Анализ бен синтездің  түрлерін не олардың бірігіп келуіне  тәуелді инсайттық схемалардағы бағдарсызықтар біресе ізделіндіге, біресе беілгенге, не оларға қарама-қарсы орналасқан.

Бір-екі мысал келтірейік.

1. Үшбұрыштың a, b және c қабырғалары арифметикалық прогрессия құрады.

C=6Rr

Екенін дәлелдеу керек. Мұндағы R мен r – үшбұрышты сырттай және іштей сызылған шеңберлер радиустары.

(*) арақатысын дұрыс  деп жорып, R мен r үшбұрыштың басқа элементтерімен қалай байланысқанын қарастырсақ:

                                         және

Екенін еске түсіреміз. R мен r –дің мәндерін (*) –ға қойып, ықшамдап

                                                   

екенін табамыз.Сөйтіп, (*) (1).

Әрі (1) (*). Бұларды біріктірсек,

                                                                 

                                                              (*)   (1)

                                                                

 

Р-нің мәнін ескергенде (1) –ден

a+b+c=3b    (2)

шығады, яғни (1) (2). Әрі бұл процесс қайтымды, яғни (2) (1).

Демек,   

            (1)   (2)

              

Олай болса,                         

               схемасына көшеміз.

(*)   (1)    (2)

(2)-ден 

 

екенін табуға болады, әрі (3)-ден (2)-ні шығаруға болады.

Бұл         

             (2)   (3)

               

 

схемасына келеді. Ақырында,     

                                                 схемасын аламыз.

                              (*)   (2)    (3)  

                                 

Алайда (3) арақатыс орынды, өйткені a, b және c арифметикалық прогрессия құрастырады. Демек, дәлелдемекші арақатыста орынды. Талқылау схемасын толық түрде көрсетсек, мына суреттегідей болады.

Сөйтіп, берілгеннен ізделіндіге қарай қадамдап (қос тұтас бағдарсызық) құрумен бірге әрбір қадамның қайтымдылығын (қос үзік) тексердік. Талқылауды аяқтап, ақиқатқа жетумен бірге анализ (қос тұтас бағдарсызық) жасадық, әрі есепті шығарудың синтездік баяндау схемасын да (үздік бағдарсызық) таптық.

Пайдаланылған төмендеуші анализді, яғни анализ бен синтездің  бірігіп келуін дәлелдеу есептерін шығарумен бірге, болжамның ақиқаттығын (не жалғандығын) көрсету үшін қолданылады. Егер де (*)-ны болжам деп қарастырсақ, онда көрсетілген схемадағы (1) шарт - әрі қажетті (тұтас бағдарсызық), әрі жеткілікті (үзік бағдарсызық) шарт болып табылады. Сондай-ақ (2) шарты (1)-дің қажетті және жеткілікті шарты, т.т.

Сөйтіп, (*) болжамның  қажетті және жеткілікті (3) шартын

 Тауып, ақиқат сөйлемге  келдік те болжамның дұрыстығын  дәлелдедік. Егер тізбек жалған пікірге әкелсе, онда болжам қате болғаны.

Есеп пен болжамды осылай талдау мен жинақтау есепті шығару әдісіне мегзеп, оқушының шығармашылық қабілетін арттырып, ойын ұштайды.

Анализ бен синтездің  бірігіп келуінің екінші түрі –  жоғарылаушы анализ. Ол болжамды қуаттау  үшін қолданылады. Жоғарылаушы анализ суретте көрсетілген.

Мұндағы жалғыз үзік бағдарсызық логикалық салдары емес. (2) туындайтын  (1) – сөйлемді іздеуді білдіреді, т.т. (3) сөйлем инсайт, демек, (*) дұрыс. Басқа жағынан қарағанда схемадағы жалғыз үзік бағдарсызық анализді, ал қос бағдарсызық (*)-нің дәлелдемесін көрсететін синтезді сипаттайды.

 

7. Математиканы оқытуда аналогияны пайдалану

 

Мәселені жете түсіну үшін:

1. Аналогия түрлерін;
2. Математиканы оқытуда аналогияны пайдалану жолдары;
3. Аналогияны пайдаланып, есептер шығаруды;
4. Аналогияны пайдалану кезінде кететін қателерді және мысалдарды қарастырайық.

Ой қорытындысын жасаудың елеулі маңызы бар түрі – тарукция (латынша traductio – орын ауыстыру, көшіру). Белгілі дәрежеде бір немесе бірнеше пайымдаудан дәрежесі сондай жалпы пайымдауға көшуді традукциялық ой қорытындысы деп атайды.

Мысалы:

Айталық, a, b және c – нақты сандар.

a>b (бірінші пайымдау),