Орта мектепте математиканы оқытуда ғылыми таным әдістерін пайдалану

 

 

 

 

3. САЛЫСТЫРУ ЖӘНЕ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ

 

Объектілердің өзара ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ажырату үшін  қолданылатын логикалық әдіс салыстыру деп аталады

Математикалық объектілердің  қасиеттерін ашуда, әрі зерттеуде  салыстыру жиі пайдаланылады.

Салыстыру қағидаларын  жақсы білу оны сапалы жүргізуге  мүмкіндік береді. Олар:

 

1. Объектілердің бірдей қасиеттері ғана салыстырылады, басқаша айтқанда, объектілердің бір-бірімен байланысы болуы тиіс. Мәселен, екі біртекті шама салыстырылады. Мысалы, арақашықтық (м), өлшемдері бірдей бұрыштар.

 

2. Объектілердің негізгі қасиеттері ғана салыстырылады. Мәселен, екі көпбұрыштың ауданы не пиреметрі салыстырылады.

     3.  Салыстыру толық болуы тиіс. Салыстыру математикалық ұғым анықтамаларын тұжырымдауда, формулаларды таратып жазған кезде қолданылады. Мәселен, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жаздырып, оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға немесе

 

1) a₁,

2. a₂=a₁+d,
3. a₃=a₂+d=a₁+2d,
4. a₄=a₃+d=a₁+3d, …

 

қадамдарын өзара салыстырып, a_n=a_n-1+d=a₁+(n-1)d формуласын жаздыруға болады.

Салыстыру өзара ұқсас мәселелерді оқытуды жеңілдетеді. Мәселен, жай бөлшектер мен алгебралық бөлшектер өзара ұқсас. Олар - өрнектер. Оларға амалдар қолдану да ұқсас:

а)           не          

б)            не          

в)            не          

г)            не          

Салыстыру нәтижесінде  бірегей қорытынды жасалып, ереже, теорема тұжырымдалады.

 

4. ЖАЛПЫЛАУ. АБСТРАКТІЛЕУ ЖӘНЕ НАҚТЫЛАУ

 

Жалпылау және абстрактілеу – таным үрдісінде бірге қолданылатын әдістер. Тек берілген топқа немесе арақатысқа тиісті жалпы негізгі қасиеттердің біреуін ойша тиянақтау, бөлектеп көрсету жалпылаудеп аталады.

Абстрактілеу – қарастырылып отырған заттардың емес, арақатынастардың жалпылау негізінде, қосымша немесе жалпы сипаттарын жадымызда бейнелеп көрсету.

Дербес мысалдан, жағдайдан  жалпы мәселеге, жалпы жағдайға көшу де жалпылауға жатады.

Мәселен: 3+5=5+3, 3*5=5*3 дейік. Осындай көптеген мысалдарға сүйеніп, қосу мен көбейтудің жалпы заңы a+b=b+a, a*b=b*a түрінде теңдігін жазамыз. Бұл – жалпылау.

Кубтың негізгі элементтерін көрсеткен соң, оны енді көрмей –  ақ көз алдымызға  елестетіп, «қыры, төбесі, жағы нешеу және олардың арақатыстары қандай?» деген сұрақтарға жауап бере аламыз.Бұл – абстрактілеу.

Жалпылауға кері үрдіс  – нақтылау, яғни жалпы жағдайдан  дербеске көшу.

Жалпылау мен абстрактілеу ұғымдарды қалыптастыруда, елестетуден  ұғымға көшуде табу әдісі ретінде индукциямен бірге қолданылса, нақтылау – бұрын қалыптастырылған ұғым негізінде нақты ахуалды сипаттауда қолданылады.Оны нақты мысалмен түсіндірейік.

Түрлі түсті, өлшемдерді әртүрлі төртбұшыштың ішінен бакылау  арқылы квадратты ажыратуды оқушылардан сұрайық. Әрине, олар ажыратады. «Квадратты басқа фигуралардан қалай ажыраттыңдар? Олардың баска фигуралардан айырмашылығы неде? Ортақтығы неде?» деген қосымша сұрақтар қою арқылы квадраттың негізгі қасиеттерін даралаймыз да, таңдап алынған бірнеше квадрат негізінде жалпы қорытынды жасаймыз. Сонымен, төртбұрыш квадрат болуы үшін:

1.      Қабырғалары өзара тең;
2. Бұрыштары өзара тең, әрі тік болуы тиіс. Есеп шығару барысында мұны нақтылаймыз:  «қабырғасы  ф- ға немесе 3 – ке тең» деген сияқты нақты мәндер беру арқылы қарастырамыз.

          Квадратқа қарағанда тік төртбұрыш кеңірек ұғым, өйткені бұрыштары өзара тең болғанмен, қабырғалары қос – қостан тең.

        Жалпыдан  кемірек жалпы жағдайды оқыту кезінде диаграммамен, схемамен көрсеткен көрнекті, сондықтан да пайдалы.

        Мысалдар суретте  көрсетілген.

 

Сонымен, қорытып айтқанда, жалпылау, дерексіздеу және нақтылау мектептерде математиканы оқытуда  кең қолданылады. Мынаны ескерген жөн.

Жалпылау негізінде  алынған қорытындылардың бәрі дұрыс  бола бермейді. Сондықтан осы дербес мысалдар арқылы, не бұрын оқыған тұжырым арқылы тексеріп отыру керек. Мысалы, 140 саны 5-ке бөлінеді. 140 саны нөлмен аяқталған және үш орынды сан. Оның осы екі сипатын байқап, мынадай екі қорытынды жасайық:

1. Нөлмен аяқталған сандар 5-ке бөлінеді.
2. Үш таңбалы сандардың барлығы 5-ке бөлінеді.

Бұл тұжырымдардың біріншісі  шын болғанымен, екіншісі жалған, өйткені  үш таңбалы сандардың бәрі бірдей 5-ке бөліне бермейді. Алайда, ол адам ойын шартарапқа жүгіртіп, гипотеза жасауға  мүмкіндік береді. Оқушының ойын дамытады. Жалпылау осынысымен пайдалы.

Кейде жалпылау арқылы алынған  қорытындыны проблемалы ахуал тудыру үшін де немесе сабақтас түсіндірудің қажеттігі үшін де пайдаланамыз.

Қорытып айтқанда, жалпылау, дерексіздеу және нақтылау оқушыны зерттеу әдісіне үйрететін әдістің бірі болса, мұғалім үшін әдістің бір түрі болады.

 

 

5. ИНДУКЦИЯ МЕН ДЕДУКЦИЯ

 

Қорытынды жасаудың индукция мен дедукция сияқты түрлері бар. Бақылау мен тәжірибеге негіздеп, күнделікті өмірден алып, оларды алғаш рет ежелгі грек философы Сократ (469-399 б.з.д.) пайдаланды.

Математика басқа гылымдар сияқты, бұл екі әдісті қолдана  отырып дамыса, математиканы оқытуда да олар ерекше орын алады. Математикалық теореманы баяндау дедукциялық негізде іске асса, математикалық фактіні зерттеуде екеуі де қатар пайдаланады. Дедукция мен индукця мазмұны түрліше болғанмен, олар өзара тығыз байланысты, қолданылуында бірін-бірі тоықтырып отырады. Енді оларды жеке-жеке қарастрайық.

Индукция латынша inductio «жетелеу» деген сөз. Дербес, жеке жағдайды, фактіні қарастырып, содан жалпы қорытынды жасауды көрсететін логикалық әдісті индукция дейміз. Индукция үш түрлі болады:

1. Толымсыз индукция;
2. Толымды индукция;
3. Математикалы индукция

Жеке фактілер өте  көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай, тек кейбіреулерін ғана қарастырып, олардың ерекшеліктерін байқап алып, сол арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, ол толымсыз индукция болады.

Мысалы:

а₁,a₂,a₃,…a_n…

арифметикалық прогрессияның  айырмасы  d болсын. Демек, арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша

a₁=a₁,

a₂=a₁+d,                                                                       

a₃=a₁+2d

Осы дербес заңдылықтан n кез келген натурал сан болғанда да

a_n =a₁+(n-1)d  (n=1,2,3,…) деуге болады.

Қорытындымыз ұшқары, себебі n-нің 4 мәні үшін, заңдылықты байқадық та, кез келген натурал n үшін заңдылық дұрыс деген тұжырымға келдік.

Толымсыз индукция негізінде табылған қорытынды ақиқат та, жалған да болуы мүмкін. Жоғарыдағы қорытынды – ақиқат.

Толымсыз индукцияны пайдаланып, оқушылар жиі қатеге ұрынуы мүмкін. Әйткенмен, сол қателесудің өзі, әсіресе математикалық болжам пайда болуына зор әсерін тигізеді. Оқушының ойын дамытады, есептеу дағдыларына үйретеді. Өз қадамадарын тексеріп отыруға қалыптастырады.

Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп, жеке-жеке шығарылған қорытындыларды пайдалану арқылы, жалпы бір қорытынды жасауды толымды индукция дейміз.

Толымды индукция жиі  қолданылады.

Егер үшбұрышта c²<a²+b² болса, онда <C<90⁰ болады.

Дәлелдеу. Айталық, <C – сүйір болмасын. Онда ол не тік не доғал болады. Егер бұрыш тік болса, онда Пифагор теоремасы бойынша c²=a²+b² болады. Бұл теореманың шартына қайшы. Егер <C доғал болса, онда c²>a²+b² болады. Бұл да берілген теореманың шартына қайшы. Сонымен, бір ғана мүмкіндік қалады. Ол <C – сүйір деп қабылдау.

Ақырында, c²>a²+b²  болса, онда  <C > 90⁰ болады. Сөйтіп, барлық жағдайды қарастырып, яғни толымды индукциямен теореманы дәлелдедік.

Мектептегі математика курсында үшбұрыштың бұрыштары мен  қабырғаларының арасындағы қатысты  көрсететін көптеген теоремалар толымды индукциямен дәлелденеді.

Толымды индукция әдісі  қателіктерге ұшыратпайды. Математикада ерекше маңызы бар осы логикалық  әдіс аристотельдік логиканың ережесіндей. Сондықтан оны кейде дәлелдеудің аристотельдік әдісі деп те атайды. Бұл әдісті ежелгі грек математиктері Пифагор, Евдокс, Евклид, Архимед қолданған. Евклид өзінің «Негіздер» деген кітабына мына классикалық теореманы дәлелдеу үшін аристотельдік әдісті пайдаланған.

Теорема. Дөңгелекке іштей сызылған бұрыштың шамасы өзі тірелетін доғаның жартысымен өлшенеді.

 

 

 

Бұл теореманы дәлелдеуде 3 жағдайды қарастыру керек:

1. Дөңгелектің центрі іштей сызылған бұрыштың қабырғасының бойында жатқан жағдай;
2. Дөңгелектің центрі іштей сызылған бұрыштың қабырғаларының арасында жатқан жағдай;
3. Дөңгелектің центрі іштей сызылған бұрыштың сыртында жатқан жағдай.

Аралықтар әдісімен есептер шығару да толымды индукцияға жатады.

Жасалған қорытынды  бірнеше дербес жағдай үшін дұрыс  болса, дербес жағдай өте көп болғандықтан, олардың барлығын бірдей қарастыру  мүмкін болмаса, бірақ сол қорытындының жалпы дұрыстығын білу керек болса, онда математикалық индукция әдісін пайдаланып көруге болады.

Дәлелдеудің мына төмендегідей әдісін математикалық индукция әдісі  деп атайды.

Барлық натурал  n  саны үшін P(n) пікірінің ақиқат екендігін дәлелдеу керек болса, онда:

1. P(I)   пікірінің дұрыс екенін тексереді;

2. n+I үшін   P(n) пікірін дұрыс деп алып (бұл индуктивтік жору деп аталады), P(n+I)  пікірінің ақиқат екенін дәлелдеуге талпынады.  Егер мұны дәлелдеп көрсете алсақ және дәлелдеме әрбір  натурал    саны үшін орынды болып қалса, онда индукция аксиомасы бойынша P(n) математикалық пікірі барлық  n үшін ақиқат деп қабылданады. Математикалық индукция болатынын тексереміз. Егер ол жалған болса, дәлелдеуді тоқтатамыз. Индукция әдісімен дәлелдеудің екі кезеңі бар.

Бірінші кезең. n=I  болғанда қарастырып отырған пікір ақиқат, себебі әрі қарай қате қорытынды шығады.

Екінші кезең. n=I болғанда пікір ақиқат болса, онда n=k болғанда пікірді ақиқат болсын деп аламыз. Осы индуктивтік жоруды пайдаланып, n=k+1 болғанда пікірдің дұрыс болатындығын дәлелдейміз.

Бұл кезеңдердің әрқайсысына  қажетті шарт.

Біз P(n)=n²+n+41, P(n)=n²+17 өрнектері жай сандарды сипаттайтын өрнектер деп жориық. Айтылған пікірдің кейбір дербес жағдайларда дұрыс болғанмен, жалпы жағдайда жалған болатынына көз жеткізуге болады. Бұл мысалдың өзінен-ақ индукция әдісімен дәлелдеудің екінші кезеңінің қаншалықты қажетекендігін аңғартамыз. Егер бұл кезеңді ескермей, қалдырып кетсек, шыққан қорытындыдұрыс болуы мүмкін.

Жалпыланған математикалық индукция қағидасы былай тұжырымдалады:

Егер P(n₀) пікірі ақиқат болса, барлық бүтін n00n₀  мәндері үшін P(n) пікірі ақиқат болады.

Егер n=1 болса, онда математикалық индукция қағидасының бастапқы тұжырымдалуы шығады. Кейбір ұйғарымдарды барлық натурал сандар үшін дәлелдемей, тек қана қандай да бір n₀ санынан басталған n n₀ натурал сандары n қағидасы былай тұжырымдалады:

Қандай да пікір 

а) Натурал сан n=n₀ болғанда дұрыс болса,

б) Бұл пікірдің n=k мәні үшін k n₀ дұрыстығынан оның n=k+1 үшін де дұрыс болатыны тағайындалса, онда ол пікір натурал n n₀ мәндері үшін де дұрыс болады.

Ескеретін нәрсе: индуктивтік кезеңді жүргізгенде санның k n₀ қасиетінен басқа дербес қасиеттерін пайдалануға болмайды. Енді толық математикалық индукция әдісін қолдануға мысалдар келтірейік.

1.а₁, а₂, ...а_n... – арифметикалық прогрессия болса, онда (1)              дәлелдеу керек.

Дәлелдеу.

1. n=0 a₁=a₁+0*d
2. n=k a _k = a₁+(k-1)d

3. (1)  формуласының  n=k+1 үшін ақиқат екенін дәлелдеу керек. Ол үшін былай есептейік