Організація самостійної пізнавальної діяльності при вивченні математики

головний період  .

Доведення спирається на лему 3 і проводиться за тією самою  схемою, що і доведення теореми 15.

Вправа 22. Знайдіть головний період функції

.

Теорема 15 показує, що у  випадку п = 2 вимога (11) є зайвою. За допомогою комплексних чисел можна показати, що в теоремі 17 обмеження (11) можна відкинути. Справедливе наступне загальне твердження (див. [1], с. 121–124).

Теорема 18. Розглянемо функцію

,   де 

Якщо деякі числа а_i, а_j несумірні, то функція f неперіодична. Якщо ж числа а₁, а₂,...,а_п сумірні, то головний період даної функції T_f дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 6. ЕТЮД ПРО СІМ'Ю ФУНКЦІЙ

Розглянемо функцію, , , де – параметр. Дослідимо її властивості.

Область визначення функції  – вся числова вісь. Сама функція – ні парна, ні непарна, додатна на всій області визначення, неперервна і періодична з періодом Т = 2.

Якщо для деякої функції φ(х) виконується тотожність φ(2а – х) = φ(х), х R, то пряма х = а є віссю симетрії графіка функції φ(х).

Для даної функції  справедлива тотожність

,    k Z.

Отже, будь–яка пряма  , k Z , є віссю симетрії графіка даної функції.

Помітимо, що , де .

Тому паралельне перенесення  графіка функції вліво (або вправо) вздовж осі Ох на π одиниць перетворює його у графік функції . З цієї причини ми, як правило, будемо розглядати функцію , лише коли λ > 0 (якщо λ = 0 , то f(х) = 2).

Оскільки функція  , , де , періодична і неперервна, то вона обмежена і досягає найбільшого і найменшого значень. Спочатку знайдемо точки, у яких ці значення досягаються.

1. Коли λ > 0, то точками найменшого значення функції є точки , п Z.

Доведення

Згідно з нерівністю Коші між середнім арифметичним і  середнім геометричним, коли λ > 0 , матимемо:                          .

Рівність досягається, коли значення х є розв'язками системи:

Звідси    .

Отже, .

2. Коли , то точками найбільшого значення є точки ,  n Z.

Доведення

Враховуючи періодичність і знаки функцій sinx, cosx, можна стверджувати, що точки найбільшого значення функції належать проміжкам , п Z.

Покажемо, що єдиною стаціонарною точкою на проміжку є точка .

Маємо . На кінцях проміжку похідна в нуль не перетворюється. Тоді                           

Точка задовольняє цю систему.

Покажемо, що інших розв'язків  система не має. Порівняємо похідні  лівої і правої частин рівняння системи:      ;

.

Тоді при – виконується   , причому рівність досягається, лише коли . Тому для   ,   

Матимемо q'(х)<0, коли , і . Отже, q(х) строго спадає на , і коли , то  

a коли  , то

Отже, єдиний нуль похідної на – це точка . Це і є точка найбільшого значення даної функції. Отже, .

На рис. 1 показано графік даної функції, коли λ = 1.

 

3. Коли , то на відрізку функція f (х) має дві точки найбільшого значення х₁, та х₂, які симетричні відносно точки : і причому .

Доведення

Знайдемо першу і  другу похідні даної функції: ;

. Найбільшого значення f(x) досягає на проміжках , тому достатньо розглянути проміжок .На кінцях цього проміжку похідна f '(х) у нуль не перетворюється. Отже, найбільше значення досягається на .

Маємо                                  

Число – одна із стаціонарних точок: , коли .

Отже, – точка локального мінімуму. Далі, при шукаємо інші стаціонарні точки на .

Нехай sinx = u, cosx = v, u > 0, v > 0, u² + v² = 1.

Графік функції , 0 < u ≤ 1 показаний на рис. 2. Похідна і найменше значення цієї функції дорівнюють: ,    .

Стаціонарні точки задовольняють  систему

Вимога u = v приводить до значення .

Якщо u ≠ v, то шукані розв'язки (u₀; v₀) показано на рис. 2. Пряма у = с, яка відповідає розв'язкам системі, існує і єдина:

якщо то u₀=v₀ і , якщо , то .

Тому, внаслідок неперервності  як функції від с та за теоремою Коші про проміжне значення, таке положення прямої у = с існує. Воно єдине через монотонну залежність від с.

 

Отже, на є ще одна стаціонарна точка, що відповідає i . Друга стаціонарна точка , симетрична x₁, відносно точки , причому f(х₁) = f(х₂).

Числа х₁ і х₂ – точки найбільшого значення функції, бо інших стаціонарних точок, крім точок х₁, х₂ і , на відрізку немає, а х₀ – точка локального мінімуму при . Отже, єдина можливість – це та, що найбільше значення досягається, коли х = х₁ = х₁ (λ) = х₂.

Далі, , , отже, .

На рис. 3 показано графік даної функції, коли λ = 2.

 

Зауваження. Коли  , то точка найбільшого значення, однак  . Тому  при .

Інакше точка  не буде точкою локального максимуму, коли [7; с. 158, теорема 3].

Розрахунки показують, що , і тоді (якби , то точка була б точкою строгого локального мінімуму).

Коли , то функція дуже гладка навколо точки (див.рис. 4). Причина такої гладкості полягає в тому, що в околі точки графік функції мало відрізняється від параболи четвертого степеня:    .

Ми використали тут формулу Тейлора [7; с. 141].

Розглянемо графіки  функцій з даної сім'ї при <span class="dash0421_043d_043e_0441_043a_0430_0020_00282_00291__Char" style=" font-siz