Організація самостійної пізнавальної діяльності при вивченні математики

Нехай T > 0 період функції f(x). На відрізку [0; T] функція f(x) неперервна, тому за теоремою Вейєрштрасса вона обмежена на цьому відрізку. Це означає, що існує таке число с ≥ 0, що при всіх

х [0; T] маємо | f(х) | ≤ с. Нехай тепер t — довільне дійсне число. Його можна подати у вигляді t = nT + τ , де n Z, τ [0;T). За доведеним, Оскільки функція періодична, то

Отже, f(x) обмежена на R.

Наслідок. Нехай Р(х) многочлен ненульового степеня. Тоді у = Р(х) — неперіодична функція.

Доведення

Припустимо супротивне. Нехай у = P(x) — періодична функція. Оскільки кожний многочлен є неперервною функцією, то за теоремою 1 функція у = Р(х) обмежена. Подамо Р(х) у канонічному вигляді:

Р(х) = , де п ≥ 1, а_o, а₁,,..., а_п — числові коефіцієнти, а₀≠ 0.

Розглянемо границю

Вираз у дужках прямує до числа а₀ ≠ 0, множник хⁿ прямує до нескінченності. Тому, і у = Р(х) є необмеженою функцією. Отримали суперечність. Отже, припущення є хибним, і насправді функція у = Р(х) неперіодична.

Приклад 5. Доведіть неперіодичність функції  y = x + cosx.

Розв'язання

Дана функція неперервна на R як сума двох неперервних функцій. Вона необмежена, бо Z, а ці значення необмежено зростають, якщо п = 1, 2, 3,.... За теоремою 1 ця функція неперіодична.

Вправа 6. Доведіть неперіодичність функцій: 1) y = x²+sinx; 2)  .

Приклад 6. Відомо, що функція f(x) визначена на R і при всіх х R справджується рівність     f(x +1) = . Чи періодична ця функція?

Розв'язання

Підставляючи в дану рівність х +1 замість х, матимемо

.

Функція періодична з  періодом 2.

Приклад 7. Нехай f(x) — періодична функція, а — дійсне число, відмінне від нуля. Довести, що функція f₁ (х) = f (ах) також є періодичною.

Розв'язання

Нехай Т— період f(x). Перевіримо, чи число є періодом  f₁.

Справді, f₁(x + T₁) = .

Теорема 2. Якщо функція f(x) періодична і диференційовна на D(f), то її похідна f '(х) також є періодичною функцією.

Доведення

Для всіх х D (f) справджується рівність f(х) = f (х + T). У правій частині рівності стоїть складна функція: внутрішня функція є лінійною, а зовнішня — це f(х). Тоді

,  або   f ′(x)=f ′(x+T).

Приклад 8. Доведіть неперіодичність функції f(x) = sin (х²).

Розв'язання

Припустимо, що f(x) періодична. Тоді за теоремою 2 функція f'(х) = 2xcos(x²) також періодична. Але вона неперервна і за теоремою 1 є обмеженою. Проте , коли N. Ці значення необмежено зростають при зростанні п. Тому f '(х) необмежена. Отримане протиріччя доводить неперіодичність f(х).

Вправа 7. Довести неперіодичність функцій:

1) y = cos(x³);       2) у = .

Виникає запитання: чи буде періодичною первісна періодичної функції? Виявляється, що не завжди. Нехай f(x) = 2 + cosx — періодична функція. Її первісна F(x) = 2x + sinx + c, с R, є неперіодичною. Покажемо, що первісну періодичної функції завжди можна «підправити» лінійною функцією так, щоб після цього вона стала також періодичною.

Теорема 3. Нехай періодична функція f(х) задана на R і має первісну F(x). Тоді для деякого числа с функція G(x) = F(x) – сх також періодична.

Доведення

Розглянемо функцію Н(х) = F(x + T)–F(x), де Т— період  f(х).

 Тоді   H'(x)= F'(x+T) – F'(x) = f(x + T) – f(x) = 0.

Тому H(х) є сталою величиною: H(x)=d, x R, або

F(x+T) = F(x) + d. Для функції G(x) = F(x) матимемо

G(x + T) = F(x + T) = G(x).

Отже, число с = є шуканим.

Вправа 8. Доведіть періодичність функцій:

  1)   у = Asin(kx + b), де А, k, b — довільні дійсні параметри;

2)  ;          3)   у = {х} (дробова частина х).

Вправа 9. Функція f(x) визначена на R і при всіх х R виконується . Доведіть, що f(x) є періодичною з періодом Т = 4.

Вправа 10. Періодична функція f(x) визначена на R. Доведіть, що її можна записати у вигляді суми f =f₁ + f₂, де обидві ці функції також періодичні, причому f₁ — парна, f₂ — непарна.

Вказівка.    f₁ (х) = .

Вправа 11. Функція f(х) періодична. Перевірте, що періодичними є також функції:

у = kf(ax + b) + с, у = | f(x) |. Дайте геометричне тлумачення.

 

5.2. ГОЛОВНИЙ  ПЕРІОД ФУНКЦІЇ

Означення 2. Нехай f(х) — періодична функція. Найменший додатний період цієї функції називається її головним періодом.

Зауважимо, що не кожна періодична функція має головний період. Так, для сталої функції у = с , де с є R , будь-яке додатне число є періодом. Оскільки найменшого додатного числа не існує, то не існує і головного періоду даної функції.

Іншим цікавим прикладом періодичної  функції без головного періоду  є так звана функція Діріхле [2; с. 62].

Приклад 9. Знайдіть головний період функції у = cos x .

Розв'язання

Нехай Т > 0 — період цієї функції. Тоді y(0) = у(Т), або 1 = cos Т, звідки Т = 2πп , п є N. Найменше число такого виду Τ₁ = 2 π. Відомо, що функція у = cos х періодична з періодом 2π. Отже, число 2π є шуканим головним періодом.

Вправа 12. Знайдіть головний період функції:

1) y = tg x;       2) y = sin x;          3) y = |sin x|.

Розглянемо питання  про існування головного періоду. У випадку D(f) = R його висвітлено в [2].

Теорема 4. Нехай неперервна періодична функція f(x) задана на множині А R і не є сталою. Тоді вона має головний період.

Доведення

Припустимо, що f(х) не має головного періоду. Введемо множину V ycix додатних періодів f(x). Ця множина непорожня, бо f(x) періодична. Розглянемо два випадки:

1) множина R обмежена знизу деяким α > 0, тобто при кожному Т V виконується нерівність   Т . Серед таких чисел α можна вибрати найбільше число а, тобто при Т V завжди Т ≥ α, проте для кожного а₁> а знайдеться такий період Т₁ V, що T₁ < а₁. (Насправді тут використано поняття точної нижньої межі множини.) Ми припустили, що найменшого додатного періоду не існує, отже, a V. Зафіксуємо ε > 0, тоді знайдеться Т₁ V таке, що . Далі, знайдеться таке Т₂ V, що а<Т₂<а₂=Т₁. Різниця двох періодів знову є періодом, тому T₁ - Т₂ V. Але обидва числа Т₂ та T₁ потрапляють в інтервал (а; а + ε), звідки 0 < Т₁ - Т₂ < ε. Ми показали, що існує додатний період, як завгодно близький до нуля. Але це неможливо, коли множина V обмежена знизу додатним числом.

2) множина V містить як завгодно малі додатні числа. Покажемо, щоf(х) є сталою на множині А. Нехай х₁ < х₂ — дві точки з D(f).

Перевіримо, що f(x₁)=f(x₂).Справді, для числа виду існує T_n V таке, що 0 < Т_п < . Тоді для всіх цілих m виконується f(x₁)=f(x₁+mT_n). Числами виду x₁+mT_n, m Z, можна наблизити будь-яке число з точністю . Нехай t_n — таке з чисел цього виду, що . Послідовність      {t_n} збігається до х₂, причому f(x₁) = F(t_n), п≥ 1. За неперервністю f(х) у точці х₂, маємо

= f(x₂). Отже, у будь-яких двох точках своєї області визначення f(x) набуває однакових значень. Тоді вона є сталою, що суперечить умові. Тому припущення про відсутність головного періоду хибне.

Теорема 5. Якщо функція f(x) періодична і має головний період, то всі її періоди є кратними головному періоду.

Доведення

Якщо T₁ і Т₂ — періоди функції f(х), то відмінні від нуля числа виду кТ₁ +тТ₂, де k Z, m Z, також є періодами цієї функції. Справді, f(x + kT_l+mT₂) = f(x + kT_l) = f(х), x D(f).

Нехай тепер Т — головний період f(х), a T₁ — інший період цієї функції. Для деякого натурального п маємо nT≤T_t <(n + 1)T, або 0<Т₁–пТ<Т . Число Т₁-пТ також є періодом f(х), якщо воно відмінне від нуля. Але, коли T₁-nT≠ 0, то 0 <Т₁-пТ <Т і Т не є головним періодом f(х). Отже, T₁ - пТ = 0 і Т₁ = пТ , що і треба було довести.

Теорема 6. Нехай періодична функція f(х) диференційовна на R та відмінна від сталої. Тоді головний період f(x) дорівнює головному періоду функції f '(x).

Доведення

Зауважимо, що головний період f(x) існує за теоремою 4. Якщо Т – період f(x), то як доведено в теоремі 2, число Т також період функції f '(x). Навпаки, нехай тепер Т — період функції f'(x).

Тоді для функції q(x) = f(x + T) – f(x) матимемо

q′(x) = f′(x + T)-f ′(x) = 0, х R.

Отже, q(x) є стала: q(x) = c R. Якщо с≠ 0, то матимемо послідовно

f(x + T) = f(x) + c, f(x + 2T) = f(x + T) + c = f(x) + 2c, ..., f(x + nT) = f(x) + nc,               n N.

Зокрема, f(nT) =f(0) + nс, і послідовність значень — необмежена. Отже, f(x) необмежена. Але з диференційовності f(x) випливає її неперервність, і за теоремою 1, неперервна періодична функція f(x) мусить бути обмеженою.

Тому насправді с = 0 , і f(х + T) = f(x), х R . Число Т повинно бути періодом f(x). Як бачимо, у функцій f(x) та f '(х) рівні періоди, тому в них і головні періоди рівні.

Зауваження 1. Для диференційовних періодичних функцій f(x), визначених не на всій дійсній прямій, головні періоди f(x) та f '(x)  можуть не збігатися. Наведемо приклад:

.

(Тут і надалі [х] та {х} — відповідно ціла і дробова частини х.) Головний період f(х) дорівнює 2, а для похідної f '(х) = 2{х}, х R \ Z, головний період дорівнює 1.

Теорема 7. Якщо функція f(x) періодична з головним періодом Т, то кожна з функцій y= - f(x),y= f(- x), y= kf(x), де k≠0,  y= a +f(x), y=f(x+a) також періодична з головним періодом Т.

Доведення проведіть самостійно. Треба  лише перевірити, чи всі ці функції  мають ті самі періоди, що і функція f(x).

Теорема 8. Якщо функція f(x) періодична з головним періодом Т, то функція у = f (ах), де а ≠ 0 , періодична з головним періодом .

Доведення

За теоремою 7, функція q(х) = f(ах) має такий самий головний період, як і функція q(-x) = f(–ах) . Тому достатньо обмежитися випадком а > 0. Нехай Т— період F(x). Тоді

.

Отже, є періодом функції у = f(ах). Нехай  період функції у = f(ах). Тоді

.

Покладаючи ах = у , матимемо f(у) = f(y + T), і число Т є періодом функції f(x). Отже, якщо Т — головний період f(x), то Т₁= є головним періодом функції у = f (ах).

Із теорем 7 і 8 випливає, що коли f(x) періодична з головним періодом Т, то функція                         у = kf(ax + b), де к ≠ 0, а ≠ 0 , також періодична з головним періодом Т₁= .

Вправа 13. Знайдіть головні періоди функцій:

1)   y = 3sin4x;        2)     у = -5cos(l - 2x);          3)     y = .

5.3. ГОЛОВНИЙ  ПЕРІОД СУМИ ФУНКЦІЙ

Приклад 10. Знайти головний період функції у = | sinx | +| cosx |.

Розв'язання

Число є періодом даної функції, оскільки

.

Нехай T — головний період даної функції. Зрозуміло, що 0 < Т ≤ . Далі маємо

.

Покладаючи в цій  рівності х = 0, отримаємо рівняння sinT + cosT = 1 , або . Найменший додатний розв'язок останнього рівняння . Отже, шуканий головний період дорівнює .

Зауваження 2. Кожна з функцій у = | sinx| та y = | cos x | має головний період Т = π. Приклад 1 показує, що сумою двох функцій з однаковими головними періодами T може бути функція з головним періодом Т₁ < Т .

Вправа 14. Знайдіть головні періоди функцій:

1)    y= |tgx|;        2)     у = | ctgx |;         3)      у = |tgx | + | ctgx |.

Приклад 11. Відомо, що функція f(х) = sin х +cos (ах) періодична. Довести, що а — раціональне число.

Розв'язання

Нехай Т — період функції f(х). Тоді функція f(-х) також має період Т, тому функції

g(x) = = cos(ax) та теж періодичні з періодом Т.

Головний період функції h(x) дорівнює 2π, звідси Т = 2πn з деяким цілим п ≠ 0. Якщо a = 0, то твердження доведено, бо нуль є раціональним числом. Нехай тепер а ≠ 0 . Головний період функції y = cos x дорівнює 2π, і за теоремою 8 головний період фун

Приклад 15. Нехай Т > 0 — період функції де а_i > 0, 1 ≤ і ≤ п. Доведіть, що .

Розв'язання

Не обмежуючи загальності, можна вважати, що а₁ > а₂ >... > а_п. Область визначення f(х) знаходиться з умови , п є Z , або . Найменше з таких додатних заборонених значень є число х₊ = , а найбільше з від'ємних заборонених значень є число х_ = ; число нуль належить D(f). Тоді   .

При додаткових умовах на параметри можна знайти головний період (8).

Вимагатимемо, щоб

a₁ > а₂ > ... > а_п > 0.                                                                    (10)

Введемо числа  ,  1 ≤ i ≤ n. Накладемо такі обмеження: з цих чисел не можна виділити дві групи з однаковою сумою, тобто для різних номерів i_l,...,i_s, j₁,...,j_p завжди

.                                                          (11)

Ця вимога виконується, наприклад, коли , 1 ≤ і ≤ п .

Лема 3. Нехай Т > 0 — період функції (8) та виконані умови (10), (11). Тоді Т є періодом кожної з функцій , 1 ≤ і ≤ п.

Доведення

Нехай х = х₀ — асимптота функції f_i (х). Для деякого цілого т маємо а_iх₀ + φ_i = . Розглянемо

.

Якщо в точці x₀ знаходяться асимптоти функцій , а інші функції f_i визначені в х₀, то

.                             (12)

Розглянемо точку х₀ + T. У ній повинні бути асимптоти деяких функцій , причому всі інші функції f_j визначені в точці х₀+Т. Тоді

.                                                                  (13)

Але  .

Границі (12) і (13) рівні, тому . З умови (11) випливає, що p = s, причому набори і₁,..., i_s та j₁,...,j_p є однаковими. Отже, кожна асимптота f_i при паралельному перенесенні на Т переходить в асимптоту цієї ж функції. Отже, Т є періодом f_i. Лему доведено.

Теорема 17. Розглянемо функцію (8), параметри якої задовольняють умови (10), (11). Якщо деяка пара чисел а_i, а_у є несумірною, то ця функція неперіодична. Якщо ж числа а₁,..., а_п сумірні, то