Определитель n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа и ее следствие

 

 

Определитель n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема  Лапласа и ее следствие

 

Определитель  n-го порядка

 

Рассмотрим квадратную таблицу  А.

А=

 
Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:

 

1.Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов.

Каждый член представляет собой  произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.

 

2.Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.

 

Определитель обозначается символом:

 
 или кратко  det A=.(детерминант А)

 

Согласно определению 
=-. 

Правило вычисления определителя 3ого  порядка:

 

 

=

 

.

 

Миноры и алгебраические дополнения

 

Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)

 

 

 

Определение 1. Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .

Например:

                    =

 

 

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента называется число

= .

 

 

Основные свойства определителей  n-го порядка

 

 

1.О равносильности строк и  столбцов.

Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

 

2.Если у определителей поменять  местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

 

3.

 

= k

 

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

 

4.Величина определителя равна  нулю, если все элементы какой-либо  его строки нули (или столбца).

 

5.Определитель с двумя пропорциональными  строками равен 0.

Например:

 

 

 

6.Величина определителя не изменится,  если к его элементам какой-либо  строки прибавить соответствующие  элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

 

7.Если элементы какой-либо строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки кроме i-й такие же, как в заданном определителе,   а i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых, а второго из вторых.

 

8.Определитель     равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.

 

 

 

i=1,2,…,n.

 

 

=

 

9.Сумма произведений всех элементов  какой-либо строки определителя  на алгебраические дополнения  соответствующих элементов другой строки равна нулю.

 

Например:

 

=

 

Теорема Лапласа

 

Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

 

Следствие.  Частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть  — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

 

Разложение по i-й строке:

 

 

Разложение по j-й строке:

 

где   — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.

Утверждение является частным случаем  теоремы Лапласа. Достаточно в ней  положить k равным 1 и выбрать  -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

 

Примеры для самостоятельного решения.

 

1.Найти х из уравнений и  проверить подстановкой корень  в определитель.

 

а);     б)