Определенный интеграл

Федеральное агентство  по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Южно-Уральский государственный  университет»

Кафедра Экономической  теории и мировой экономики

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

ПО КУРСУ  «МАТЕМАТИКА»

НА ТЕМУ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы   ЗЭУ-234 (Шумиха)

Ф.И.О Спирин Дмитрий Александрович

Проверил: Семакина Е.А.

 

 

Шумиха

2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

I. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

  1. Понятие определенного интеграла……………………………………….…..3

  2. Геометрический смысл определенного интеграла…………………….…….5

  3. Основные свойства определенного интеграла……………………….………6

  4. Формула Ньютона–Лейбница…………………………………………………7

  5. Замена переменной в определенном интеграле……………………………...9

  6. Интегрирование по частям……………………………………………………11

II. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

  1. Площадь криволинейной трапеции…………………………………………13

  2. Объем тела вращения…………………………………………………………19

  3. Длина дуги плоской кривой………………………………………………….22

  4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования..24

  5. Несобственные интегралы от неограниченных функций………………….27

Литература…………………………………………………………………..........29

 

 

 

I. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

1. Понятие определенного интеграла

 

Пусть функция  определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;
2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке ;
3. найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;
4. составим сумму

, (1) которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5. найдем предел интегральной суммы, когда .

 

 

Рис. 1

 

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция  называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

 

 

 

 

 

 

 

2. Геометрический смысл определенного интеграла

 

Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

 

Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Основные свойства определенного интеграла

 

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Если , то, по определению, полагаем
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

 

.

 

6. Если функция  интегрируема на и , то

 

.

 

7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

 

 

 

4. Формула Ньютона–Лейбница

 

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2), которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин- 
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Замена переменной в определенном интеграле

 

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3), которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что, как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

На практике часто  вместо подстановки  используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую  переменную по формуле  . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

 

 
.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся  универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

 

 

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим  , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

 

.

6. Интегрирование по частям

 

Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как  , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим  , отсюда . По формуле (4) находим

 
.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть  , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

 

 
.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая  , определяем . Следовательно:

 

[к полученному интегра-лу снова  применяем формулу интегрирования  по частям: ; следовательно: ] = =

.

 

 

 

II. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы

 

1. Площадь криволинейной трапеции

 

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле

. (5)

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

Если функция  неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае если функция  непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (7)

 

Рис. 4

 

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

 

Рис. 5

 

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:

  ;

.

Таким образом, площадь  заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

 

Рис. 6

 

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,  
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .