Метод координат. Трехмерные пространства

Если l1 || l2, то , поэтому k1 = k2, и обратно, т.е. условие k1 = k2 выражает признак параллельности прямых l1 и l2.

Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l1 и l2 (рис. 6).

Так как и , , то

или 

Полученную формулу для вычисления угла от прямой l1 до прямой l2 можно записать и так:

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1, т.е. условие k1k2 = - 1  выражает признак перпендикулярности прямых l1 и l2.

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

2 Метрические задачи в  трехмерном пространств

2.1 Многомерность пространства

Проблема определения мерности пространства, казавшаяся на первый взгляд простой, в действительности предстала в науке как одна из сложнейших. В этой области знаний идет длительная теоретическая дискуссия между философами, математиками и естествоиспытателями.

Чтобы понять, почему, например, пространство трехмерно, попробуем вначале решить более простую задачу: выяснить, на каком основании расстояния между объектами или длины физических тел принято выражать в одном измерении. Странный вопрос – не правда ли? Вроде бы чего проще. Однако не все так просто, как кажется на первый взгляд. Ведь расстояния определяются на поверхности Земли, которая сама по себе объемна. Расстояние между объектами на Земле или в космосе – это ведь тоже расстояние между объемными физическими телами. А вот математические точки и линии – абстракция, в «чистом виде» в природе не встречаются. Точку или линию можно получить путем соприкосновения или наложения объемных предметов (линеек, циркулей, карандашей, рейсфедеров, бумаги и т. п.).

Измерение – процесс достаточно разнообразный. Например, в популярном детском мультфильме длину удава измеряют в попугаях. В повседневном быту иногда длину или площадь измеряют по толщине пальцев или ширине ладони, а объем – в горстях, ведрах или мешках. В прошлом при определении длины вполне обходились частями человеческого тела и отношениями между ними, откуда и пошли все наши сажени, локти, шаги, футы, дюймы и т. п. Лишь на известном этапе развития науки и техники были введены эталоны, сделавшие устаревшими прежние способы измерений.

Эти примеры можно продолжить. Еще в далеком прошлом, на заре математики практические потребности пастушества и земледелия вывели на первое место измерение длин и расстояний (а не, скажем, объемов и емкостей). Развитие строительной и землемерной практики обусловило переход к измерению углов и поверхностей. Абстрактная геометрическая наука (топология), отражая логику развития практики и производства, двигалась от изучения линии – через поверхность – к объему. Одно измерение прибавлялось к другому, в результате в классической евклидовой геометрии объем оказался трехмерным (и соответственно плоскость – двумерной, а линия – одномерной).

Принципиально допустимо, опираясь на понятие одномерного объема, построить сколько-угодно-мерную воображаемую геометрию, где площади и длины будут определяться в порядке, обратном логике геометрии Евклида. Аналогичным образом теоретическое обобщение конкретных систем геометрических отношений позволяет построить ту или иную неевклидову геометрию.

Однако вернемся к выяснению основного вопроса: почему пространство трехмерно? Причиной этого является материальность мира. Действительно, любое тело, от элементарной частицы до звезды или галактики, состоит из вещества в каком-то объеме, размеры которого можно определить только тремя измерениями (например, длиной, высотой и шириной). Если представить, что один из этих геометрических параметров (размеров или координат) равен нулю, то измеряемый объем будет также равен нулю, а следовательно, в нем не должно быть и никакой материи. Таким образом, геометрические поверхности, а тем более линии или точки, не имеющие объемов, являются нематериальными, а воссозданы абстрактным мышлением человека.

Следовательно, трехмерное пространство характеризует форму существования материи.

2.2 Векторы в трехмерном геометрическом пространстве

Два вектора всегда являются компланарными так же, как три точки всегда лежат в одной плоскости. Но три вектора уже могут не быть компланарными, и тогда любой из них не может быть выражен через два других. Но, если выбрать в пространстве три некомпланарных базисных вектора, то любой четвертый уже может быть выражен через них в виде линейной комбинации.

Рисунок 2.

Поступая аналогично тому, как мы это сделали для "плоского" случая, спроектируем вектор на базисные векторы , и при помощи проектирующих плоскостей (  ), ( ) и ( ) (рис. 2). Выразив каждую из проекций через соответствующий вектор базиса, получим:

.

То же самое в сокращенной записи:

.

2.3 Соглашение Эйнштейна об обозначениях

Поскольку в векторной алгебре подобного рода суммы встречаются часто, то по предложению А. Эйнштейна принято знак суммы опускать. С учетом соглашения А. Эйнштейна, последнее равенство можно переписать в более компактном виде: .

Последняя запись является всего лишь сокращением предыдущей. Символ i в последнем выражении можно заменить любым другим, и от этого ничего не изменится, поэтому его называют немым символом. Немой символ пробегает все возможные значения. В нашем случае – это 1, 2, 3. Интересно, что последнее выражение в сокращенной записи А. Эйнштейна выглядит совершенно одинаково для всех трех случаев, которые мы рассмотрели, если учесть, что для векторов на плоскости i принимает значения 1 и 2, а для векторов на прямой единственное значение – 1.

Уточним понятие базиса. Прежде всего, базисные векторы – это такие векторы, через которые могут быть однозначно выражены остальные. Но таких векторов много, и, когда говорят о векторах базиса, предполагается, что какие-то векторы для этой цели уже выбраны. В трехмерном пространстве можно выбрать в качестве базиса любые три некомпланарных вектора.

2.4 Линейная зависимость векторов и размерность пространства

Определение: Векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать не все равные нулю числа , такие что выполняется равенство: .

С другой стороны, если таких чисел не существует, то векторы называются линейно независимыми.

1. Три вектора линейно зависимы  тогда и только тогда, когда  они компланарны.

В самом деле, пусть векторы линейно зависимы. Тогда , и среди чисел есть не равные нулю. Пусть, для определенности, не равно нулю первое число . В этом случае мы имеем право записать: . Но это означает, что векторы лежат в одной плоскости, если, конечно, их перенести к одному началу. Следовательно, векторы компланарны.

С другой стороны, если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости. Здесь возможны варианты, которые мы рассмотрим по отдельности.

Вариант 1.

Один из векторов является нулевым вектором. Пусть, для определенности, это будет первый вектор. В этом случае мы можем записать: .

Вариант 2.

Среди векторов нет нулевых векторов, но есть коллинеарные. Пусть, для определенности, коллинеарными являются первые два вектора. Но в этом случае, первый вектор может быть выражен через второй: , и, следовательно, .

Вариант 3.

Среди векторов нет нулевых векторов, и все векторы не являются попарно коллинеарными. В этом случае все векторы могут быть перенесены в одну плоскость, и любой из них может быть разложен по остальным как по векторам базиса. Следовательно, , и мы снова получаем, что: .

2. Любые четыре вектора в трехмерном  пространстве всегда линейно зависимы.

Здесь также возможны два варианта.

Вариант 1.

Какие либо три вектора являются компланарными. Пусть, для определенности, этими векторами будут первые три. В этом случае мы можем подобрать не все равные нулю числа так, что . Но тогда

Вариант 2.

Любые три вектора не являются компланарными. В этом случае любой из четырех векторов может быть разложен по остальным трем как по базису , и мы можем записать, что .

Следовательно, в обоих возможных случаях четыре вектора являются линейно зависимыми.

Резюмируя все эти результаты, можно сказать, что в трехмерном пространстве всегда можно выбрать три линейно независимых вектора. В то же время, любые четыре вектора являются линейно зависимыми.

В плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми, в то же время в плоскости всегда можно найти два линейно независимых вектора, так как для этого достаточно, чтобы они не были коллинеарны.

Это дает основание дать следующее определение размерности пространства векторов.

Определение размерности пространства: Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называется его размерностью.

Размерность пространства совпадает с числом базисных векторов этого пространства. Поскольку любой вектор может быть разложен по векторам базиса, мы можем дать следующее определение координат вектора в произвольном базисе.

Определение координат вектора: Коэффициенты ,  ,  , ...  в разложении вектора по базису ,  ,   ...  называются координатами вектора в этом базисе.

Приведенные определения хороши тем, что они легко обобщаются на пространства любых размерностей. Привычное и уютное пространство трехмерно. Можно еще говорить о двумерном пространстве векторов на плоскости или об одномерном – на прямой.

Что представляет собой, к примеру, четырехмерное пространство? На этот вопрос любой физик-теоретик скажет, что наше пространство только приближенно можно считать трехмерным. Пространство не существует вне времени, а вместе со временем оно образует четырехмерное пространство-время. В более "продвинутых" теориях уже невозможно обойтись без одиннадцатимерных пространств. Но даже если все эти теоретические абстракции душа не принимает, и мы ни за что не хотим покидать привычного трехмерного пространства, нам все равно не уйти от представления о многомерных пространствах. Ну, хорошо, наше пространство трехмерно, но почему оно трехмерно? Уже сама постановка этого вопроса предполагает необходимость говорить и размышлять о пространствах с большим числом измерений.

Есть и более прагматические причины для интереса к многомерным пространствам. Например, вектор-столбцы и вектор-строки – типичные объекты матричной алгебры – являются векторами в смысле нашего общего определения вектора (8).

Пусть, скажем,

, , , , .

С этими формальными векторами можно обращаться, как с обычными векторами, например, разложить вектор по базису ,  ,  ,  :

.

Такого рода формальные структуры с необходимостью возникают в различных областях знания и очень приятно, что не нужно каждый раз строить заново всю теорию.

 

3 Применение метода координат

Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта — неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета). Новое, исключительно плодотворное применение получил метод координат в книге французского философа и математика Рене Декарта «Геометрия», изданной в 1637 году. Декарт выяснил важное значение понятия переменной величины. Занимаясь изучением наиболее употребительных линий, Декарт заметил, что координаты точки, перемещающейся по данной линии, связаны определённым уравнением, вполне характеризующим эту линию. Так был найден способ изучения линий по их уравнениям, положивший начало аналитической геометрии и способствовавший развитию других математических наук. «Поворотным пунктом в математике, — писал Энгельс, — была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление». Математической основой аналитической геометрии является своеобразный способ определения геометрических фигур: фигура задаётся уравнением. Возможны два подхода к выяснению сущности этого способа. Рассматривая точку с переменными координатами х, у, связанными некоторым уравнением, мы замечаем, что она перемещается в плоскости с изменением её координат, но пробегаемый ею путь не будет произвольным, так как данное уравнение устанавливает зависимость между величинами х и у. Иными словами, уравнение играет роль как бы рельсов, направляющих движение точки по Возможно, однако, не связывать задание фигуры уравнением с представлением о движущейся точке, описывающей эту фигуру подобно трассирующей пуле, оставляющей светящийся след, или подобно перу сейсмографа, вычерчивающему линию, отображающую колебания земной коры. Можно рассматривать уравнение как средство для отбора точек, составляющих определяемую уравнением фигуру: отбираются те точки плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.