Математика методының
басқа ғылым салаларында пайдаланылуынан
оның символдарының маңызы арта түседі.
Математиканың дамуын оның таңбаларының
дамуымен тәуелді талдай отырып, оның
қолдану қажеттігінен, математикалық
символика белгігі талаптарды қанағаттандырып,
принципті негізде құрылуы тиіс
деген қорытындыға келеміз. Математикалық
символдардың дамуы математикалық
терминдердің даму деңгейіне сәйкес
қаралуы тиіс. Жоғарыда баяндалғандай-ақ
терминология толықтық принципін қанағаттандырады.
Мұны қазіргі терминология проблемаларын
зерттеуші А. А. Реформатский, З. М. Зорин,
Г. Н. Ағаев, Б. А. Ағаев, С. М. Мұсаев, М. И.
Черемсина, Д. Икрамов және методист математиктер
А. И. Фетисов, Д. Пойа, В. Рабинович, т.б.
атап өтеді. Егер осылай десек, онда логика
заңы бойынша терминдер жиынтығы мен олардың
өкілі символдар жиыны арасында өзара
бір мәнді сәйкестік орнатылуы тиіс. Бұл
талап символдың толықтық принципін тудырады.
Қазіргі математикада әлі де көлбеу, дөңгелек,
тең шамалылық сияқты символы жоқ математикалық
ұғымдар мен объектілер бар екендігін
байқатады. Қарастырылған принцип бойынша
бір теория, пікір, есеп ішінде бір символ
не белгі әр түрлі бірнеше сәйкес келмеуі
тиіс және керісінше бір ұғым бірнеше
символға сәйкестенбеуі қажет. Математиканы
оқытуда аталған принциптің педагогикалық
маңызы зор, өйткені ыңғайлы белгілеу
есепті шешуде немесе теореманы дәлелдеуде
кедергі болмай, қайта көмектесуі, тіпті
қажет нәрсені меңзеп тұруы тиіс.
Бірінші мысал: Тік параллелепипед көлемін V=abc формуласымен
есептейміз. Мұндағы a, b, c- латын алфавитінің
тетелес алғашқы үш әрпі. Әріптер көлемді
табудағы атқаратын олардың ролі бірдей
екендігін байқатумен бірге, қатар тұрған
үш әріп формуланы есте сақтауды жеңілдетеді.
Екінші мысал:
формуласына көз жүгіртейік.
Мұндағы үш жақты бұрыштың екі
жақты бұрышының біріншісіне
үш жақты бұрыштың төбесіндегі жазық
бұрышының біріншісі сәйкес келеді
дегенге нұсқайды. Сызбада, қара кесінді
қарсы жатса, оған қарсы бұрышы қарсы жатыр.
Демек, есепті шешкенде немесе басқа бір
мәселені қарастырғанда белгілеуді осы
жағдай үшін түрлендірмеу керек. Егер
оған басқа мағына беретін болсақ, өзгертудің
мағынасын ескертуіміз міндетті. Онсыз
түсінбестік туып, белгілеу ойлауға кедергі
болады. Бұл тұста Н. И. Лобачевскийдің
мына сөзін келтіру орынды. «... сөзді басқаша
қолданудан туатын жалған ой сияқты, таңбаны
өзінің мағынасынан бөлек түсінуден математикадағы
кез келген пайымдау тоқтайды».
Кемел символ практикада қолдануға
ыңғайлы болуы тиіс. Басқаша айтқанда,
математикалық операциялар олармен
тез жасалып, қорытынды нәтиже оқуға
ыңғайлы әрі көрнекті болуы тиіс.
Мәселен, деу алгебралық оперцияларды,түрлендіруді
жазу үшін ыңғайлы. Бұл әрі қысқа,
әрі көрнекі, сондықтан, есте тез
сақталады.
Г. Лейбниц «белгілеуді
жаңалық ашуға ыңғайлы болатындай
етіп жасауға қамқорлық керек, ... сонда
ғана ол ой жұмысын таң қаларлықтай қысқартады»,
дейді. Көптеген математиктер символдарды
жасауға осы принципті практикалық ыңғайлылық
принципін еске алады. Принцип көбіне
дәстүрлік және қысқа символдарды өзгертпей,
сақтау арқылы іске асады.
Символға қойылатын келесі
талап қысқалық принципі. Ол былай
іске асырылады:
- Сөздің, терминнің бірінші әрпін алу арқылы. Мәселен, символы латынның радикал сөзінің бірінші әрпі болса, тік бұрыш шамасын білдіретін дэ әрпі, француздың друа дегендегі ағашқы әрпі. Осы әдіспен символдары жасалған;
- Сөзді бірнеше әріпке қысқарту, яғни эллипсистеу нәтижесінде. Мысплы латынның лимит сөзінен синус сөзінен таңбасы пайда болған. Сондай ақ, сигнум, логарифм, минимум, максимум таңбалары да осылай туған;
- Бар символдың элементін өзгертуден жаңа символ туындайды. Мысалы, пен символынан сәйкесінше дербес тунды символы пен ондық логарифм таңбасы шыққан. Ұқсастық таңбасы латынның эс әрпін жатқызып өрнектеуден тараған. Ал тің өзі латынның симилис, ұқсас деген сөзіндегі бірінші әріп. Фигура ауданын арқылы белгілейміз. Интеграл таңбасы осы әріпті созудан туған. Әрпін аударудан жалпылық кванторының таңбасы, Е әрпін төңкеруден бар болу кванторы таңбасы символдары туындаған, себебі А немістің кез келген мағынасын білдіретін сөзінің бірінші әрпі болса, Е осы тілдің бар болушылық деген сөзінің алғашқы әрпі. Мектеп курсындағы тиісті емес, параллель емес таңбалары осылай өмірге келген;
- Дербес символдардың екі элементін кіріктіру арқылы жаңа символ алынады. Мысалы, біртұтас символдары осылай туған. Біртұтас символдарды жартылай тасымалдауға болмайды;
- Сөздердің орнын ауыстырып, келтіру арқылы жаңа таңба алынады. Мысалы, латын тіліндегі теминінің элементтерінің орнын ауыстырып, артынан эллипсистеуден символы шыққан. Эйлер осы әдіспен гиперболалық синус пен гиперболалық синус таңбалары пен ұсынған;
- Негізгі қасиеттері мен элементтерін сақтау, әрі геометриялық бейнені кішірейту арқылы таңбалары пайда болған. Мұндай түрдегі символдардың педагогикалық көзқарастан маңызы зор, өйткені олар символ мазмұнын еске түсіріп, еске сақтауды күшейтеді. Бұған олардың көрнекілігі жәрдемдесіп тұр. Осы көзқарастан кейін авторлар пайдаланатын шеңбер, симметриялық, вертикаль ось бойынша параллель көшіруден шығады, горизонталь ось бойынша параллель көшіруден шығады белгілеулері пайдалы;
- Ұғымдар арасындағы тікелей байланысты пайдалану көмегімен де біртұтас символдар алынады. Мысалы, үшбұрыш медианаларының үшбұрын биіктітерінің таңбалары осылай жасалған. Мұндағы латынның орта сызық, гректің, биіктік деген сөзіндегі алғашқы әрпі болса, төменгі индекстер қай қабырғаға медиана жүргізілгендігін сипаттайды. Алайда мектеп өмірінде: үшбұрыштың ауданы кез келген бір қабырғасы мен оған түсірілген биіктік көбейтіндісінің жартысына тең деп түзету мұғалімнің борышы. Онсыз ой тұманданып, қателікке әкеледі. Жазылған формуласы екі ұштылыққа нұсқайды. Себебі, мұнда ретінде кез келген қабырғаға жүргізілген биіктікті алуға болады. Оны деп түзетіп, оқулыққа ендіру қажет;
- Тектес объектілер үшін бір алфавиттің әріптерін ретімен пайдалану. Мысалы, белгігіт және берілген шамаларды латыннның, белгісіз немесе ізделінді шамаларды осы алфавиттің соңғы әріптері арқылы таңбалау Виеттен басталады, нүктелер немесе жиын түрлерібас әріптерімен жазылса, жиын элементтері немесе символымен жазылады;
- Бірімен бірі тығыз байланысты, бірақ, әртүрлі категориялы объектілер үшін әртүрлі алфавиттің әріптері пайдаланылады. Мысалы, планиметрияда латынның әріптері нүктелерді, гректің әріптері бұрыш шамаларын білдіреді. Егер осы символдарды үшбұрыш элементтері үшін пайдалансақ, онда мен ны немесе мен ны көріп, төбесіндегі бұрышты деп еске түсіреміз. Мұндай көзқарастан туылған символдар оқыту процесінде педагогтар үшін пайдалы;
- Бірімен бірі тығыз байланысты ұғымдар, объектілер үшін таңдалған алфавиттің кіші және үлкен әріптері сәйкесімен қолданылады. Мысалы, үшбұраштағы мен мен мен белгілеулерін көріп, бұрышына қарсы жатқан қабырға бұрышына қарсы жатан қабырға бұрышына қарсы жатқан қабырға екенін еске түсіреміз.
Математикалық таңбалар жүйесі
мүмкіндігінше ұғымдар структурасын,
сөйлемдерді айқын елестетуі
керек, яғни белгілеу реті мен байланысын,
объектілер реті мен байланысын айқындауы
керек және керісінше. Осы жағдайда
ғана символика елес көрінісін сызу
үшін тиімді, әрі ұғымдарымен тәуір
ассоцияцияланады. Осы талаптарды сақтау
символиканың желілік, мазмұндық, ыждағаттылық
принципін қанағаттандандыратын болады.
Үшбұрыштың элементтерінің таңбалары,
Эйлер нұсқаған синустар формуласы
үшбұрыштардың ұқсастығының символы
осы талаптарды қанағаттандырады. Эйлер
үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын
және арқылы, ал оған қарсы жатқан бұрыш
шамасын және әріптерімен таңбалады.
Өйткені бұлай белгілеу тригонометрияның
көптеген формулаларын осы элементтермен
байланыстырады. Сондықтан бұлар
Эйлерге элементтерарасындағы тәуелділікті
өрнектеуге мүмкіндік беріп, байқалымдық
пен оперативтілікті қамтамасыз етті.
Сызбасы қазіргі мағынада
қабырғаларының жазылу реті мен төбелерінің
сәйкестігіне, бұрыштарының теңдігіне
нұсқайды. Мұны білу ұқсас үшбұрыштардағы
сәйкес қабылғалардың пропорционалдығын
жазуға мүмкіндік береді. Мектеп өмірінде
үшбұрыштардың ұқсастығы символын
терең түсіне бермейтіндігі кездесіп
отырады. Қиындықтанқұтылу үшін сәйкес
төбелер үшін бірдей әріптер пайдаланып,
бірі екіншісінен индекспен ажыратылса
жеткілікті. Мәселен, не. Осылай үйрету
пайдалы да.
Символиканы құрудың келесі
принципі оның оперативтілігі. Бұл
принципті қазіргі көптеген символдар
қанағаттандырады. Оперативтілік принципі
қысқалық толықтығына тәуелді. Мәселен,
ноль таңбасы жоқ кезде, кейін
таңбасы жасалып мен арасындағы
цифрлармен бірдей құқыққа ие болмағанда
ондық позициялық санау жүйесі алгоритмдірек
болмады. Алгебралық есептеулер математикаға
теріс сан мен оның таңбасы
ендірілгеннен соң ғана әсерлі нәтижелер
бере бастады.
Оқушыларды математикалық
формулаларды дұрыс пайдаланып, одан
дұрыс қортынды жасай білуге үйрету
математика мұғалімдерінің міндеті.
Үлгі үшін этимология элементін
пайдаланып жүргізген бір сбақтан
үзінді келтірейік:
Сабақ тақырыбы: Теріс және оң сандар. Сандық
ось.
Сабақ мақсаты: Теріс және оң сандармен таныстыру,
сандық осьте рационал санды кескіндеуді
үйрету.
Сабақ басында оқушы теріс
санның даму тарихынан бес алты минуттық
хабар жасады. (Оны мұғалім алдын
ала даярлаған). Үйге бөлме термометрін
қарап келу тапсырылғандығын ескеріп,
мұғалім:
- Бөлмедегі температураның қандай екенін кім айтады? Деген сұрақ қойды. Әр жерден қолдар көтерілді. Тақтаға бес оқушының бен градус арасындағы жауаптары жазылды, ал сынып кезекшілері үзіліс кезінде қарап келген дала термометрінің көрсетуін айтты. Ол градусты көрсетіп тұр екен.
- Олай болса, бөлме мен даланың температурасы қатар болғаны ма? Деді мұғалім. Оған оқушылар: «Жоқ, бірдей емес» деп, бір ауыздан жуап берді.
- Демек қазіргі жағдайдағы үйдегі градус пен даладағы градус дегендегі саны бірдей түсінік бере ме? Деп мұғалім тағы да анықтай түсті. «жоқ, бірдей емес» деген жауап іле шала алынды. Градус мағынасын анықтау үшін, ол қосымша сұрақ қойды. Сонда қалай? Осындағы саны әрі бөлме әрі даладағы температураны көрсете ме? Оқушылар: олар әр түрлі сандар оның біреуі суықтықты, ал екіншісі жылылықты көрсетеді, деді. Осы кезде магнитафон іске қосылды. Одан диктордың: «планетамыздың ауа рай туралы мәлімет тыңдаңыздар. Бүгін жергілікті уақытпен сағат тоғызда отанымызды астанасы Астанада қаласында градус суық, Алматыда нөлден төмен, Ташкентте градус аяз, Мәскеуде градус суық, Делиде градус жылы, Шанхайда градус нөлден жоғары, ең жылы жер Эквадорда градус ыстық, Нью Йоркте суық», деген сөздер тыңдады. Осы жерде мұғалім: суық, жылы, аяз, нөлден төмен, нөлден жоғары, сөздерінің мағыналарын түсіндіріп, қай кезде қолданылатын айтты. Осыдан кейін ғана оң, теріс, ноль терминдерінің мағынасын түсіндірді. Латын сөзі. Ол жетіспеушілікті, кемістікті білдіреді. Те латынның сөзі. Артықтықты білдіреді. Математика тариын зерттеушілер, саудаға тиістісінен жетіспеушілікті, кем шығушылықты символымен таңбаласа, артық шығушылықты деп белгілеген. Алғаш рет бұл таңбалар ғасырдағы оқымыстылар Леонардо да Винчи, И. Видиман және басқалардың кітаптарында жиі ұшырасады. «» символдарын пайдаланып есептеу әдістері бар математикаға арналған құралды неміс авторы Грамматеус ( жылы туылған) жылы жазды. Жылы Уилкинс және таңбасын оң және теріс сан үшін қолданумен бірге, оны қосу мен азайту үшін де пайдаланды. Қазіргі ны деп жазды. Магницкий орыс тілінде алғаш рет өз «Арифметикасында» пен таңбасын қосу мен азайту үшін қолданғаны айғақ.
Қазақ халқы оң және теріс
санмен және олардың символдарымен
Ұлы Қазан социалистік революциасынан
кейін ғана танысты. Мұнан әрі
оқушылар практикалық сабаққа көшті.
Одан соң сынып нұсқалық өздік
жұмысқа кірісті. Келесі сабақтар оқушылардың
үйретілген мәселелерден білімдерінің
нақты әрі тұрақты екендігін
көрсетті.