Магические квадраты

 

Комитет по образованию Мингорисполкома

 

УО «Минское государственное профессионально-техническое училище №148 строителей»

 

 

 

 

 

 

 

II городская учебно –  практическая конференция

 

 

 

 

 

 

Исследовательская работа

по теме: «Магические квадраты»

 

 

 

Секция: естественно - математическая

 

Направление: математика

 

Автор:

 

Руководитель: Дегтярева Татьяна Казимировна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск

 

2009

 

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Тема исследования: заполнение магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Актуальность:  В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на составление магических квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы решения задач такого типа.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления.

Для этого  поставил следующие задачи:

• познакомиться с историей появления магических квадратов;
• выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
• провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение  Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения;
• выявить области применения  магических квадратов.

 

Методы исследования:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод составления магических квадратов на основе полученных знаний;
• исследовательский метод при работе с магическим квадратом Пифагора.
• анализ полученных в ходе исследования данных.

.

 

Глава 1. История появления магических квадратов

В дни моей юности

 я в свободное время  развлекался тем,

 что составлял… магические  квадраты.

         

Бенджамин Франклин.

 

Магический квадрат, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

            При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими.

            Страна, в которой был впервые  придуман магический квадрат, точно  неизвестна, неизвестен век, даже  тысячелетие нельзя установить  точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

 

 

 

 

 

 

                                                  рис.1                                                      

         В древности  магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос.

Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дюрер составил первый в Европе магический квадрат, 4х4. Сумма чисел в любой строке или столбце равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). Гравюра содержит очень много символов, часть из них связана с планетой Сатурн.

      

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

         

 

 

 

 

 

 

 

А.Дюрер «Меланхолия 1»                                      Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

                                                       рис.2

В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

           Еще  более замечательным является  магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рис.3).

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

 

 

 

 

 

.                                                               рис.3   

         

Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический квадрат.

             Получение магических квадратов  было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43,                содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

         В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

 

Глава 2. Магические квадраты 3*3

          Полного  описания всех возможных магических  квадратов не получено и до  сего времени.

          Магических  квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 900 (рис. 4в) или на 1800 (рис 4г).

4	9	2
3	5	7
8	1	6

 

 

 

 

  

 

 

8	1	6
3	5	7
4	9	2

2	9	4
7	5	3
6	1	8

2	7	6
9	5	1
4	3	8

 

6	1	8
7	5	3
2	9	4

 

 

 

 

 

а                                    б                                           в                                      г

                                                               Рис. 4

 

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000 000 магических квадратов порядка 5.

 

 

 

 

Глава 3. Способы составления магических квадратов

 

Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата:

• нечетный;
• четный, порядок которого равен степени числа 2;
• четный, порядок которого равен удвоенному нечетному;
• четный, порядок которого равен учетверенному нечетному;

 

3.1. Магические квадраты  нечетного порядка

3.1.1. Метод достроения

1.  Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом *.

*               * * *           0 0 0 0 0       * 0 0 0 0 0 *   * * 0 0 0 0 0 * *   * 0 0 0 0 0 *       0 0 0 0 0           * * *               *