Квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеу

Уикипедия —  ашық энциклопедиясынан алынған  мәлімет

 

Квадрат теңдеу деп

түріндегі көпмүшелі теңдеуді айтамыз. Мұндағы a≠0 (Егер a = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғниквадрат функция).Квадрат теңдеу – 2-дәрежелі алгебралық теңдеу. Оның жалпы түрі мынадай: ax2+bx+c=0, 0¹a. Квадрат теңдеудің комплекс сандар өрісінде мынадай екі түбірі (осы теңдеудің коэффициенттері арқылы радикалда өрнектелетін) болады: x1,2=.

a, b, және c әріптері - коэффиценттер деп аталады: a квадраттық коэффиценті - x²-тың коэффиценті, b коэффиценті - x-тің коэффиценті, ал c - тұрақты коэффицент немесе тұрақты мүше

ax² + bx + c - ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)

Мазмұны

 

  [көрсету] 

Квадрат формуласы[өңдеу]

Квадрат теңдеудің  коэффиценттері нақты болса, оның екі  шешімі немесе түбірі болады. Оларды квадрат формуласы сипаттайды:

 ,

яғни:

және

 

Дискриминант[өңдеу]

Дискриминант мәндеріне байланысты түбірлер 
■ <0: x²+¹⁄₂ 
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃ 
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Төмендегі формула  квадрат түбірлерді табуға қажет:

Бұл дискриминант деп аталады.

Квадрат функцияның коэффиценттері нақты сан болса (комплекс сан емес) онда оның бір  әлде екі нақты немесе екі комплекс түбірлері бар. Осыған байланысты дискриминант түбірлердің түрі мен санын анықтайды. Дискриминант мәніне байланысты үш жағдай болуы мүмкін:

• Егер дискриминант оң сан болса теңдеудің 2 түбірі бар және олар нақты:

• Егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір нақты түбірі бар:

• Егер дискриминант теріс сан болса теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Керісінше, теңдеудің екі комплекс түбірі бар:

 мұнда   - абсолют мәні(+ve) және   = 

Виет формуласы[өңдеу]

x2+px+q=0 түріндегі  келтірілген квадрат теңдеудің  шешімі төмендегіше өрнектеледі: x1,2=. Квадрат теңдеудің түбірлері  мен коэффициенттері бір-бірімен  мынадай қатынастар арқылы байланысқан: x1+x2=, x1x2= .

Мысалдар[өңдеу]

•  теңдеуінде дискриминант оң:   және екі нақты шешімі (түбірлері) бар:

•  теңдеуінің дискриминанты нөлге тең:  =0 яғни, теңдеудің бір шешімі бар:

•  теңдеуінің нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені:  . Бірақ екі комплекс түбірлері бар:

Квадрат теңдеудің  сол жақ бөлігін (x–x2)=0×a(x–x1) түрінде көрсетуге болады. ге келтірілетін есептерді шешу мәселесі ежелгі дәуір математиктеріне де белгілі болған. Квадрат теңдеу терминін неміс философы әрі математигі Х.Вольф (1679 – 1754) енгізген (1710).