Линейное пространство

Введение

Линейное пространство векторов - это не пространство в простейшем его понимании, в котором расположены материальные объемные предметы реального мира, а чисто математическое понятие, которое рассматривается именно как множество объектов, обладающих определенными математическими свойствами, а не как пространство, куда помещаются предметы.

Например, векторы прямой линии  также представляют собой векторное  пространство, понимаемое как множество элементов, обладающих определенными алгебраическими свойствами.

Таким образом, в математике часто  используется понятие пространства, и не обязательно линейного векторного (существуют, например, метрические  и топологические пространства). Пространство вообще понимается как множество  математических объектов произвольной природы, обладающих определенными  математическими свойствами, которые  объединяют эти объекты в единое целое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие линейного пространства

Линейным пространством или  линейным векторным пространством (линейным пространством векторов) называется множество математических объектов произвольной природы, которые  обладают следующими свойствами:

1.в данном множестве определено сложение элементов, причем сумма двух элементов этого пространства также является элементом этого пространства;

2.в данном множестве  определено понятие умножения  элементов на числа, причем  произведение элемента линейного  пространства на некоторое число  также является элементом этого  пространства;

3.сложение элементов  пространства коммутативно (x+y=y+x);

4.сложение элементов  линейного пространства ассоциативно (x+y)+z=x+(y+z);

5.в линейном пространстве  существует нулевой элемент, сумма  с которым любого элемента  этого пространства равна тому  же самому элементу (x+0=0);

6.в линейном векторном  пространстве существует противоположный  элемент, такой, что сумма любого элемента этого пространства со своим противоположным элементом дает нулевой элемент (x+(-x)=0);

7.скалярная единица  при умножении на любой элемент  линейного пространства дает  тот же самый элемент: (1*x=x);

8.произведение двух  чисел на элемент линейного  пространства ассоциативно (a(bx)=(ab)x);

9.умножение чисел на  элементы линейного пространства  дистрибутивно относительно сложения  чисел ((a+b)x=ax+bx);

10.умножение чисел на  элементы линейного векторного  пространства дистрибутивно относительно  сложения в самом линейном  пространстве (a(x+y)=ax+ay).

 

Вот эти десять свойств элементов  множества как раз и образуют понятие линейного пространства и неразрывно связаны с ним. (Так называемое аксиоматическое задание в пространстве)

В понятие линейного пространства не входит правило, по которым определяется сумма и произведение элементов на число. В том то весь и смысл, что сложением элементов и умножением их на число по определению принято считать такие операции, которые обладают данными десятью свойствами. Когда мы встречаем операции, удовлетворяющие описанным выше условиям, мы будем говорить, что мы имеем дело с линейными операциями или с операциями сложения элементов векторного линейного пространства и их умножением на число.

Проверим выполняются ли перечисленные десять свойств для векторов плоскости.

1.мы знаем, что любые  два вектора плоскости можно  складывать по правилу треугольника  или по правилу параллелограмма,  причем получается в результате  вектор, принадлежащий той же  плоскости;

2.мы знаем также, что  любой вектор плоскости можно  умножать на число, причем в  результате получается вектор, лежащий  на той же прямой, что и исходный  вектор, то есть вектор, лежащий  в той же плоскости;

3.согласно правилу параллелограмма  совершенно безразлично с каком порядке складывать два вектора;

4.согласно тому же  правилу параллелограмма также  результат сложения трех векторов  совершенно не зависит от того, что если мы прибавим к сумме  двух первых векторов третий  вектор, или сумму второго и  третьего к первому;

5.на плоскости существует  нулевой вектор-точка, прибавляя  которую к любому вектору мы  получаем тот же самый вектор;

6.сумма двух противоположно  направленных векторов равной  длины дает вектор точку, то  есть нулевой элемент;

7.числовая единица при  умножении на любой вектор  плоскости дает тот же самый  вектор;

8.результат умножения  не зависит от того, что умножили  мы вектор на одно число а потом на другое или сначала перемножим два числа, а результат умножим на вектор;

9.результат умножения  не зависит от того, сложить  ли сначала два число и результат  сложения чисел умножить на  вектор плоскости или умножить  вектор на каждое число а затем сложить;

10.точно также безразлично что умножать число на сумму векторов или, что умножить число на каждое слагаемое, а затем сложить.

 

Таким образом, для векторов плоскости  выполняются все аксиомы линейного  пространства, что означает, что  множество векторов плоскости является линейным пространством.

 

 

2. Примеры линейных пространств

Кроме выше описанного детального примера  линейного векторного пространства можно привести еще массу примеров множеств, которые также являются линейными пространствами. К таким  множествам относится:

1. Множество всех полиномов фиксированной старшей степени. Причем суммой двух многочленов будет являться многочлен с коэффициентами, равными суммам коэффициентов слагаемых, а произведением многочлена на число будет многочлен с коэффициентами исходного многочлена, умноженными на это число.

2. Квадратные матрицы порядка n. Суммой двух матриц является матрица, составленная из сумм элементов исходных матриц, а произведением матрицы на число, будет матрица из произведений элементов исходной матрицы на это число. Нулевым элементом при этом будет матрица состоящая из одних нулей. Легко проверяется по аналогии с векторами на плоскости, что все аксиомы линейного пространства для множества квадратных матриц фиксированной размерности выполнены.

3 .Элементы линейного пространства также по аналогии называют векторами, однако они могут и не быть обычными векторами плоскости или прямой, или трехмерного пространства. Векторами мы будем называть и матрицы и многочлены и все остальные математические объекты, которые удовлетворяют аксиомам линейного пространства.

В векторное пространство входят все  вектора, которые получаются при  помощи любой линейной комбинацией  любых других векторов из этого пространства. Поэтому любое векторное пространство всегда бесконечное (кроме тривиального с одним нулевым вектором), а  значит конечное множество не будет векторным пространством. Трехмерные вектора можно складывать и вычитать. Например, покоординатно. Операция покоординатного сложения ассоциативна. А вот ввести произведение трехмерных векторов не удается. Скалярное произведение невозможно, так как в результате появляется не вектор, а скаляр. Покоординатное произведение тоже невозможно, так как нельзя ввести деление, когда одна из координат равна нулю. И векторное произведение векторов тоже не подходит, так как деление будет неоднозначным. Поэтому R³ не является ассоциативной алгеброй, а R²(комплексные числа), R⁴( кватернионы)- являются.

 

 

 

 

 

3. Базис линейного пространства.

С понятием базиса линейного пространства тесно связано понятие линейной независимости векторов.

Базис линейного пространства представляет собой линейно независимую систему  векторов, поэтому мы вначале определим  понятие линейной независимости  и линейной зависимости векторов линейного пространства.

Кроме того, базис линейного пространства обладает тем замечательным свойством, что любой вектор этого линейного  пространства можно представить  как сумму элементов данного  базиса, умноженных на некоторые числа. Эти числа однозначно определены базисными векторами и данным вектором, поэтому он называются координатами вектора в данном базисе.

Исходя из всего изложенного, мы уже можем сформулировать определение  базиса линейного пространства:

Базисом линейного  пространства называется линейно независимая  система векторов, каждый вектор пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов и причем единственным образом.

Количество элементов в базисе может быть конечным или бесконечным. В первом случае пространство называется конечномерным, а во втором случае - бесконечномерным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Размерность линейного пространства

Мы хорошо знаем, что любой вектор на плоскости можно представить  как сумму двух неколлинеарных векторов. Еще более замечательным является факт, что если на плоскости заданы два любых неколлинеарных вектора, то можно произвести следующие операции:

-взять произвольный  третий вектор на плоскости;

-отложить все три  вектора от одной точки;

-третий вектор спроецировать  на каждый из первых двух  векторов параллельно другому  вектору;

-третий вектор будет  равен сумме своих проекций;

-каждая проекция третьего  вектора является произведением  соответствующего вектора на  некоторое число, поскольку проекция  на вектор и сам этот вектор  на который спроецирован третий  вектор, лежат на одной прямой, то есть они коллинеарные.

Таким образом, мы видим, что любой вектор плоскости представляется в виде суммы произведений двух заданных векторов на плоскости на некоторые однозначно определенные числа. Причем сами заданные векторы неколлинеарные, то есть линейно независимы. Однако на плоскости нельзя найти ни один вектор, через который можно было бы линейно представить любой вектор плоскости.

Это означает, что размерность линейного  пространства всех векторов плоскости  равна двум.

Размерность линейного пространства в общем случае определяется как число базисных векторов. Также размерность линейного пространства определяется как система максимального числа линейно независимых векторов.

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система, состоящая  из n векторов, но нет ни одной линейно  независимой системы векторов, состоящей  из n+1 векторов, то ее можно принять  за базис пространства. В этом случае размерность данного линейного  пространства равна числу n. Кроме, того если в линейном пространстве есть линейно независимая система  состоящая из n векторов, то в этом линейном пространстве и подавно  будут линейно независимые системы, состоящие из меньшего числа векторов чем n. В этом случае размерность  линейного пространства не может  быть меньше чем n.

 

 

 

5.  Линейно зависимая система векторов.

Выше мы постоянно опираемся  на понятие линейно зависимой  системы элементов векторного пространства. Теперь мы дадим точное определение  данного фундаментального понятия.

Мы видели, что любой вектор на плоскости можно представить  как линейную комбинацию двух неколлинеарных векторов. Это как раз и означает, что третий вектор линейно зависит  от двух данных неколлинеарных векторов, таким образом любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Вообще, если один элемент линейного  пространства линейно представим через  остальные векторы линейного  пространства, или, что то же самое, является линейной комбинацией других элементов, то говорят что данные элементы образуют линейно зависимую систему векторов. Другими словами, если дан вектор y и векторы x1,...,xn и

выполняется равенство

y=a1*x1+...+an*xn,

то система векторов y, x1,...,xn, линейно зависима.

Теорема. Для того, чтобы система векторов x1,...,xn была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая система коэффициентов a1,...,an, не все из которых равны нулю, что линейная комбинация данных векторов с данными коэффициентами равна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Линейно независимая система векторов.

Линейно независимая система векторов определяется противоположно линейно  зависимой системы векторов линейного  пространства.

Пусть дана плоскость и вектор пространства, не лежащий в этой плоскости или  некомпланарный данной плоскости. Тогда  данный вектор нельзя представить никакой  линейной комбинацией через векторы, лежащие в данной плоскости. Действительно, любая линейная комбинация векторов плоскости лежит в этой плоскости, что следует из определения операций умножения векторов на числа и  сложения элементов линейного пространства. Это как раз и означает, что  три некомпланарных вектора пространства образуют линейно независимую систему  векторов.

Определение. Элементы линейного пространства линейно независимы если ни один из них нельзя представить как не нулевую линейную комбинацию других векторов, входящих в данную систему векторов линейного пространства.

Теорема. Система векторов линейного  пространства линейно независима тогда  и только тогда когда не найдется линейной комбинации данных векторов, равной нулю, но с отличными от нуля коэффициентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Координаты вектора в базисе линейного пространства.