Куб.Правильный гексаэдр

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение
2. Определение правильного многогранника
3. Куб (правильный гексаэдр)
4. Свойства гексаэдра
5. История многогранников
6. Заключение
7. Список используемой литературы

 

ВВЕДЕНИЕ

Человек проявляет  интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от маленького ребенка, который  играет с кубиками, до взрослого  человека. Некоторые многогранники  встречаются в природе – в  виде кристаллов или вирусов, пчелы  строят соты в форме шестиугольников.

 

 Мир наш исполнен симметрии.  С древнейших времен с ней  связаны наши представления о  красоте. Наверное, этим объясняется  непреходящий интерес человека  к многогранникам - удивительным  символам симметрии, привлекавшим  внимание множества выдающихся  мыслителей, от Платона и Евклида  до Эйлера и Коши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА.

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа  плоских многоугольников, соединенных  таким образом, что каждая сторона  любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно  один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны –  ребрами, а вершины – вершинами  многогранника.

 

 Многогранник  называется выпуклым, если он  весь лежит по одну сторону  от плоскости любой его грани,  тогда грани его тоже выпуклы.  Выпуклый многогранник разрезает  пространство на две части  — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя  его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого  тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.

 

 Выпуклый  многогранник называется правильным, если все его грани – равные  правильные многоугольники и  к каждой вершине примыкает  одно и то же число граней.

 

 Если  все грани – правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

 

Куб. Правильный гексаэдр

 

Куб или гексаэдр (шестигранник), - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Слово  «гексаэдр» образовано от двух греческих  слов: hex — шесть и hedra — грань.

 

 Куб –  единственный из правильных многогранников, которым можно замостить пространство, прикладывая один кубик к другому.  Именно поэтому объём куба  с единичным ребром принят  за единицу объема.

 

 Сумма  длин всех ребер - 

 

 Площадь  поверхности -

 

 Объем  –

 

 Радиус  описанной сферы –

 

 Радиус  вписанной сферы -

 

 

 

 

 Центром  симметрии куба является точка  пересечения его диагоналей. Через  центр симметрии проходят  9 осей  симметрии. 

 

 Плоскостей  симметрии у куба также 9 и  проходят они либо через противоположные  ребра (таковых плоскостей –  6), либо через середины противоположных  ребер (таких – 3).

 

 Удивительным  образом куб связан с четырьмя  другими видами правильных многогранников. Так центры граней куба являются  вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра суть  вершины куба.

 

 В куб  можно вписать правильный тетраэдр  – его вершинами являются концы  скрещивающихся диагоналей двух  параллельных граней куба. Остальные  четыре вершины куба служат  вершинами второго вписанного  тетраэдра.

 

 В куб  можно вписать додекаэдр так,  что ребра куба будут диагоналями граней додекаэдра. Ребром вписанного в додекаэдр куба может быть любая из пяти диагоналей какой-нибудь грани додекаэдра, так что в додекаэдр указанным образом можно вписать 5 одинаковых кубов. Наконец, на каждой из шести граней куба можно выбрать по паре точек так, что 12 выбранных точек будут вершинами икосаэдра.

 

 Среди  прочих примечательных свойств  куба отметим, что в точности  четыре его сечения являются  правильными шестиугольниками –  эти сечения проходят через  центр куба перпендикулярно четырём  его диагоналям.

 

 

Свойства гексаэдра

 

Четыре сечения куба являются правильными  шестиугольниками — эти сечения  проходят через центр куба перпендикулярно  четырём его главным диагоналям.

В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях  четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.

В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести  граней куба.

Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут  расположены в центрах восьми граней октаэдра.

В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены  соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра  будут лежать на шести гранях куба.

 

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ  куба находится по формуле , где d — диагональ, а — ребро куба.

 

Тип	Правильный многогранник
Грань	Квадрат
Ребра	12
Грани	6
Грани при вершине	3
Длина ребра	а
Площадь поверхности	6а2
Объём	а 3

 

 

История многогранников

Правильные  многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно  найти на резных каменных шарах, созданных  в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры  в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –  пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат  со стороной 233 м и высота которой  достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что  пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит  из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование  пяти правильных многогранников они  относили к строению материи и  Вселенной. Согласно этому мнению, атомы  основных элементов должны иметь  форму различных тел:

§ Вселенная - додекаэдр

§ Земля - куб

§ Огонь - тетраэдр

§ Вода – икосаэдр

§ Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники  стали называться платоновыми телами.

Аристотель  добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны  из этого элемента, но он не сопоставлял  его платоновскому пятому элементу.

Открытие  тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые  перечислившего их в недошедшей до нас работе.

Евклид дал  полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге  Начал. Предложения 13—17 этой книги  описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого  многогранника Евклид нашёл отношение  диаметра описанной сферы к длине  ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти  связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной  системы (исключая Землю) и правильными  многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной  из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники  были расположены в следующем  порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

 

Заключение

Изучая весь этот материал, мы открыли удивительные вещи: первыми правильные полуправильные многогранники изучали Платон и Архимед, а ведь они жили еще до нашей эры, и в наши дни многие ученые занимаются изучением многогранников. Значит, интерес к многогранникам не пропадет никогда, это такие необыкновенные фигуры, а главное, какие они красивые! Одно из самых главных свойств многогранников – это симметрия. Благодаря ей они и выглядят так необычно.

 

 Свойства  многогранников используются в  различных сферах деятельности  человека. Например, в архитектуре:  почти все здания строятся  с соблюдением симметрии. Многие  знаменитые художники пишут свои  картины, используя симметрию.  За счет этого картины смотрятся  более эффектно.

 

 Таким  образом, вся наша жизнь наполнена многогранниками, с ними сталкивается каждый человек: от мала до велика.

 

Список  используемой литературы

 

 

1)http://schools.techno.ru/sch758/2003/geomet/new!!/prav.html

2)http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00048/75500.htm

3)http://slovari.yandex.ru/dict/krugosvet/article/9/9b/1001550.htm

4)http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B

5)Смирнова И., Смирнов В. Что такое «Полуправильный многогранник» //Учебно-методическая газета «Математика».- 2007 .-№16-с.23-26

6)http://pravmn.narod.ru/tetr.htm

7)Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся.- М.: Просвещение, 1995.