Контрольная работа по "Линейной алгебре"

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По  дисциплине __Линейная  алгебра_______________________________

(название  дисциплины по учебному плану)

_______________________________________________________________

На  тему (или «ПЕРЕАТТЕСТАЦИЯ») «Линейная алгебра______________

______________________________________________________________»

       Вариант _10________________________

 

 

Тема 1: Матрицы и определители.

1. Вычислить определитель:

7  5  0  1

0  0  3  4

5  3  7  3

5  2  2  1

 

Решение:

        7  5  0  1

        0  0 3  4

 А=  5  3  7  3  =7*А11 + 5*А12 + 0*А13 + 1*А14

        5  2  2  1    

 

А11= (-1)^2*    0   3  4     = 0*7*1+4*3*2+2*3*3-4*7*2-1*3*3-0*3*2=-23

3. 7  3
2. 2  1

 

A12= (-1)^3* 0   3  4   = 70

5   7  3

5   2  1

A13= (-1)^4*   0   0  4   = -20

                       5   3  3

5   2  1

A14=(-1)^5*    0  0  3 = 15

                       5  3  7

                       5  2  2

 

|A| = 7*(-23)+5*70+0*(-20)+1*15=204

 

2. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку:

        2 -4 0

А=  -1  -1  4

       -3  3   5

 

Решение:

1. Матрица квадратная следовательно обратная к ней матрица существует.

2. Находим определитель исходной  матрицы:

        2  -4   0

|А|=  -1  -1  4         =2*(-1)*5+(-1)*3*0+(-3)*(-4)*4-0*(-1)*(-3)-2*3*4-5*(-4)*(-1)

        -3 3  5          =-6 = 0

 

 

3. Находим матрицу, составляющую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

 

А11 = (-1)^2* -1  4  = -1*5-4*3= -17

                        3  5

 

A12 = (-1)^3 * 1  4  = -7

                       -3  5

A13 = (-1)^4 * -1  -1 =  -6

                       -3    3

 

A21 = (-1)^3 * -4  0   = 20

3. 5

A22 = (-1)^4 *   2  0 = 10

                        -3  5

A23 = (-1)^5 * 2  -4 = 6

                        -3  3

 

A31 = (-1)^4 *  -4  0 = -16

                         -1  4

 

A32 = (-1)^5 *   2  0 = -8

                          -1  4

A33 = (-1)^6 *  2  -4   = -6

                          -1  -1

 

Таким образом получаем матрицу:

 

-17  -7    -6

  20   10   6

-16  -8   6

 

4. Полученную матрицу  Транспортируем

  -17  -7   -6      T    -17 20  -16

   20   10    6     =     -7   10  -8

  -16  -8    -6             -6  6    -6

 

5. Последнею матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную:

 

А^(-1) = - 1      -17  20  -16      

6.     -7    10  -8 

-6   6   -6       

 

6. Осуществляем проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной матрицы на исходную.

 

А^(-1)*A = A*A^(-1) =_ 1      -17  20  -16         9  -3  4  =

                         6    -7    10     -8   *    1   0  5

                        -6   6      -6         -2   3  2

 

=   -34+(-20)+48  68+(-20)+(-48)  0+80-80    =   _ 1     -6   0     0             1   0   0

      -14+(-10)+24   28-10-24           0+40-40             6     0   -6    0     =      0   1   0

       -12+(-6)+18    24-6-18            0+24-30                     0     0  -6            0   0   1

 

 

 

 

 

 

Тема 2. системы линейных уравнений

 

Решить систему уравнений  двумя способами методом обратной матрицы, методом Гаусса.

 

Метод обратной матрицы

 

2x+y+3z=3

3x+2y+4z=7

2x-3y+z=1

 

Решение:

Запишем матрицу системы:

        2    1  3

А=   3   2   4

2. -3  1

И матрицу – столбец сводных членов              3

                                                                     В=  7

                                                                     1

 

А=2*2*1+2*1*4+3*3*(-3)-3*2*2-1*1*3-2(-3)*4=-6

 

Найдем матрицу, обратную к матрице А. Для этого составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов.

А11= (-1)^2*   2  4   =14

                       -3  1

A12= (-1)^3* 3   4   = 5

2. 1

A13 = (-1)^4*  3   2  = -13

2. -3

 

A21=(-1)^3*  1   3 = -10

                     -3    1

 

A22=(-1)^4* 2  3  = -4

2. 1

A23 = (-1)^5*  2  1    = 8

                2  -3

 

 

A31 = (-1)^4 * 1   3   = -2

  2  4

A32 = (-1)^5 *  2   3     = 1

                          3    4

 

A33 = (-1)^6*  2   1  = 1

                        3   2

 

Таким образом получаем матрицу:

14   5    -13     Т    14   -10   -2

-10  -4     8       =     5     -4     1

-2     1      1            -13     8     1

 

Полученную матрицу  делим на определитель исходной матрицы  и записываем обратную матрицу:

              _ 1  14   -10   -2

А^(-1)= 6  5     -4     1

                    -13    8      1    

 

Решением исходной системы уравнений  будет матрица – столбец 

       х1    , найденная как произведение  обратной матрицы на матрицу –   

Х=  х2      столбец. Сводных членов

       х3

                                    14   -10   -2         3                42-70-2                    -30          5

Х=A^(-1) * B = _ 1  5     -4     1    *  7       =  1    15-28+1      =    1   -12    =   2

                              6    -13     8     1         1          6   -39+56+1            4     18         -3

 

Т.е. х1=5, х2=2, х3=-3

 

 

 

Метод Гаусса:

 

2x+y+3z=3

3x+2y+4z=7

2x-3y+z=1

 

 

Решение:

Составим расширенную  матрицу системы

 2   1    3    3

3   2    4    7

 2  -3   1   1

 

1-ую строку делим  на 2 

1     0.5     1.5     1.5   

  3     2     4     7 

  2     -3     1     1 

 

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3;2 

  1     0.5     1.5     1.5   

  0     0.5     -0.5    2.5 

  0     -4     -2     -2 

 

2-ую строку делим  на 0.5 

  1     0.5     1.5     1.5   

  0     1     -1     5 

  0     -4     -2     -2 

 

1от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 0.5; -4                  1     0     2    -1

0     1     -1     5 

0     0     -6     18 

 

3-ую строку делим  на -6 

  1     0     2     -1   

  0     1     -1     5 

  0     0     1     -3 

 

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2; -1 

1     0     0     5   

  0     1     0     2 

  0     0     1     -3 

 

 

Ответ: 

x1 = 5

x2 = 2

x3 = -3

 

Тема 4. Уравнение плоскости.

 

Даны две точки М1 и М2

1. составить общее  уравнение плоскости, проходящей  через точку М1 перпендикулярно  вектору

 

n=M1M2 

 

2. Определить длины отрезков, отсекаемые плоскостью от осей координат.

Сделать чертеж

 

М1 (3;0;-3) ; М2 (1;0;-4)