Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Января 2014 в 14:31, контрольная работа

Краткое описание

Задание 3. Вычислить предел, не используя правило Лопиталя.
Задание 23. Найти точки разрыва функции и указать их характер. Сделать схематический чертеж.
Задание 53. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Задание 73. Найти: 1.Частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальным условиям х=х0, у=у0. 2.Общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Прикрепленные файлы: 1 файл

готовый алгебра.docx

— 87.87 Кб (Скачать документ)

Задание 3.Вычислить предел, не используя  правило Лопиталя.

 

1.

 

2.

 

3.=

 

4.

 

Задание 23.Найти точки  разрыва функции и указать  их характер. Сделать схематический  чертеж.

 

 

Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

 

,

Поскольку левосторонний предел при x = 0  равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

 

Для точки  находим:

 

,

Аналогично  правый предел равен бесконечности  при , точка является точкой разрыва второго рода.

Изобразим график функции

 

 
Задание 33.Провести полное исследование функции и построить ее график.

 

1.Функция  определена и непрерывна на  интервале  . Точка разрыва (-1).

2.Пересечение  с осью ОХ.

 

3.Пересечение  с осью ОУ.

х=0, f(x)=4

4.Функция ни четная, ни нечетная.

5.Найдем первую производную.

y҆=,  Нули производной х=-2, х=0.

Функция возрастает на промежутке х

Функция убывает на промежутке х

6. Выясним наличие наклонных  асимптот:

х=-1  не существует

х=-1 

х=-1 

Наклонная асимптота у=5-х

Минимальное значение

Максимальное  значение

Построим график.

 

 

 

 

               
                 
                 
                 
                 
       

4

       
                 
                 
                 
                 
           

5

   
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

 

 

Задание 43.Найти неопределенные интегралы.

1.

 

 

 

2.

 

3.

 

Задание 53.Вычислить площадь  фигуры, ограниченной линиями.

y=x2-2x+3      y=3x-1

 

Графиком  функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= 2x-2 и находим координаты вершины параболы С:

 

Графиком  функции g(x)=3x-1 является прямая, проходящая через точки (0;-1), (1/3;0).

Найдём  точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

х2-2x+3=3x-1 ↔ х2-2x-3x+3+1=0 ↔ х2- 5х + 4 = 0

Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [0;1], то

 

Задание 63. Даны функция z=f(x;y), точка М00; у0), вектор

 .Найти:

1.Градиент функции z=f(x;y) в точке М00; у0)

2.Производную функции  z=f(x;y) в точке М00; у0) по направлению вектора

 

1.  градиентом функции u=f(x,y) в точке М000) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных функции в точке М0:

Найдем  значение частных производных функции  в точке М0(2, -1):

 

;  

 

;  

 

 

Вектор   -указывает направление возрастания функции f в точке М0. Наибольшая скорость возрастания функции f равна модулю градиента:

 

|grad f (M0)| =

 

 

 

2.               Производную функции u=f(x,y) по направлению вектора   найдем по формуле:

, где cos , cos -  направляющие косинусы вектора  :

Вычислим cos , cos  и 

cos =

 

 

 

 

=-1/5*4/5+(-1)(-3/5)=0.44

 

 

Задание 73.Найти:

1.Частное  решение дифференциального уравнения  первого порядка, удовлетворяющее  начальным условиям х=х0, у=у0.

2.Общее  решение дифференциального уравнения  второго порядка с постоянными  коэффициентами.

 

 

1.у,=2х-у    х0=-3   у0=-5

 

2х=2у(х)у, (х)

 

2у(х)=2x

 

 

 

             

 

 

-общее решение

 

Частное решение при х0=-3   у0=-5

 

 

-5=                 C1=0.07

 

 

Тогда частное решение примет вид:

 

 

=-5.6 log2x

 

 

 

2.у,,-9у,+14у=е

 

r2-9r+14=0       D=(-9)2-4*1*14=25

 

r1==7         r2==2

 

y1=e7x             y2=e2x

 

Общее решение  имеет вид:

 

=C1e7x+C2e2x

 

 

Задание 83.Исследовать сходимость ряда

 

 

 

 

Используем  признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем  случае         

 

Вычисляем предел:  

 

 

=

 

q < 1 следовательно ряд сходится.


Информация о работе Контрольная работа по "Линейной алгебре"