Контрольная работа по "Эконометрия"

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИЗОП ФГОУ ВПО «НГАУ»

кафедра дИСТАНЦИОННЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ   РАБОТА

 

По дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

 

Студента 4-го курса

Факультета заочного    образования

экономического отделения

группы У 4446

Ким А.А.

шифр УВ 10228

 

 

Научный руководитель:

_____________________

 

 

 

 

 

Новосибирск 2013

Задача 1

По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника (табл. 2 и 3).

Таблица № 1

Прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.	13	25	27	19	10	14	22	24	23	19
Валовая продукция (в сопоставимых ценах 1994 г.) на одного среднегодового работника, тыс. руб.	440	350	380	400	450	420	320	300	390	410

 

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

 

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.
8. Решение
9. 1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
10. ŷ_х=а + bх,
11. где ŷ_х- прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;
12. х - производство валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.; 
    а, b - параметры уравнения.
13. Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:

14. где n - число единиц совокупности.

15. Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл.7).
16. Подставим полученные данные в систему уравнений:

17. Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при a (в первом уравнении на 10, во втором –       на 3860):

19. Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:
20.   -0,5= 5,71b;   b = -0,088.
21. Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение a:
22. a = 19,6 - 386 • (-0,088) = 53.568

23. Вспомогательная таблица для расчета статистических величин

Таблица № 2

Сельскохо-зяйст- венное предприятие	Прибыль  на 1 работ- ника, тыс. руб.	Валовая продукция на 1 работ- ника, тыс.руб.	y2	x2	ху	ŷx	y-ŷx
	y	x
1	13	440	169	193600	5720	14,8	-1,8	14,22
2	25	350	625	122500	8750	22,8	2,2	8,93
3	27	380	729	144400	10260	20,1	6,9	25,45
4	19	400	361	160000	7600	18,4	0,6	3,33
5	10	450	100	202500	4500	14	-4,0	39,68
6	14	420	196	176400	5880	16,6	-2,6	19,63
7	22	320	484	102400	7040	25,4	-3,4	15,49
8	24	300	576	90000	7200	27,7	-3,2	13,2
9	23	390	529	152100	8970	19,2	3,8	16,31
10	19	410	361	168100	7790	17,5	1,5	7,96
Сумма	196	3860	4130	1512000	73710	X	X	164,2

25. Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
29. Уравнение регрессии имеет вид:
30. ŷ_x =53,568-0,088х.
31. Коэффициент регрессии b=-0,088 показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс. руб. прибыль на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств уменьшается на 0,088 тыс. руб.
32. 2: Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
35. где - ошибка аппроксимации.
36. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷ_х   (табл.2). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 2. Отсюда:
38. В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 16,42 %. Качество уравнения регрессии можно оценить как плохое, так как средняя ошибка аппроксимации превышает допустимого предела (8-10%).
39. 3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

41. где и - средние значения признаков,

42. Отсюда:
43. ;
45.  
    
46. Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте 
    производительности труда на 1 % прибыль на одного работника повышается на 1,733%. ,
47. 4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:
49. где   - средняя сумма произведения признаков;
50. и - средние квадратические отклонения по х и у.
51. Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 7 и в пункте 3 решения. Отсюда:
58. Коэффициент корреляции r_ху=-0,77 свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминации r²_у – (-0,77)² = 0,59 показывает, что 59 % изменений в уровне прибыли на одного работника объясняется различием в уровне производительности труда.
59. 5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
61. Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_факт при принятом уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν = n - 2 = 10 - 2 = 8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.
62. Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между прибылью и производительностью труда.
63. 6. Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным (критическим) значением F_факт .
64. Фактическое значение F_факт  по формуле:
65. В нашем случае:
66. Табличное значение F_табл по таблице значений F-критерия Фишера - при α = 0,05, k₁ = m =1 и                k₂ = n-m-1 = 10-1-1=8 равно 5,32 (m - число параметров при переменной х).
67. Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи r_xy, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием, фактора х.
68. 7. Полученные оценки, уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение прибыли на одного работника при среднем росте производительности труда на 10 %.
69. Прогнозное значение производительности труда:
70. х_р = • 1,1 = 386,0 • 1,1 = 424,6 тыс. руб.
71. Прогнозное значение прибыли на одного работника:
72. ŷ_р = 53,568 + 0,088 • 424,6 = 90,9 тыс. руб.

 

 

 

 

 

Задача 2

По 30 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности картофеля, количестве внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля после лучших предшественников, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 3). 

Таблица 3

 

Показатель	Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение ( )	Линейные  коэффициенты парной корреляции
Урожайность картофеля с 1 га, ц                 -	y	130	25,0	--
Внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т	x1	23	2,2	=0,43
Доля посадок  картофеля по лучшим предшественникам, %	x2	66	12	= 0,41 = 0,13

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности картофеля от количества внесенных органических удобрений и доле посадок картофеля по лучшим предшественникам в стандартизованном масштабе и в естественной форме.
2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости a = 0,05.

Решение

1. Уравнение множественной  линейной регрессии имеет вид:  _,

где - урожайность картофеля с 1 га, ц;

        x₁ - внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т;

        х₂ - доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, %;

        а, b₁, b₂ - параметры уравнения.

Для расчета его параметров а, b₁ и b₂ сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

где  - стандартизированные переменные;

        - стандартизированные коэффициенты регрессии. 
Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам: 

 

 

где - парные коэффициенты корреляции.

Уравнение множественной  регрессии в стандартизированной  форме имеет вид:

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать  заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность картофеля. Наиболее значительно влияние доли посадок картофеля по лучшим предшественникам. Количество внесенных органических удобрений оказывает меньшее воздействие.

Для построения уравнения  в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы перехода          от β_i к b_i :

где и ах - средние квадратические отклонения.

Параметр а определим из соотношения:

130 – 4,318 • 23 -0,75• 66 = 130-99,314-49,5=-18,814

Получим уравнение:

= -18,814 + 4,318х₁ + 0,75х₂.

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности за счет изменения соответствующего фактора при фиксированном уровне другого. Так, коэффициент при x₁ показывает, что увеличение (или снижение) количества внесения органических удобрений на 1 т ведет к повышению (или снижению) урожайности картофеля на 4,318 ц. Соответственно коэффициент при х₂ определяет меру зависимости урожайности картофеля от доли высадки его по лучшим предшественникам.

2.   Для   определения   линейного   коэффициента  множественной корреляции используем формулу:

Коэффициент множественной корреляции показывает тесную зависимость между анализируемыми признаками. Коэффициент множественной детерминации = 0,558² = 0,311 свидетельствует, что 31,1 % изменения урожайности картофеля связано с анализируемыми признаками.

4. Статистическую значимость уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи оценим с помощью общего F-критерия Фишера по формуле:

где n - число единиц совокупности;

           m - число факторов в уравнении линейной регрессии.

В нашем случае:

Табличное значение F_табл по таблице значений F-критерия Фишера - при а = 0,05, k₁ = m = 2и   k₂=n-m-1=30-2-1=27 равно 3,35.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов и х₂.