Контрольная работа по дисциплине "Прикладная математика"

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 24 
Задача №1

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А1 и А2, для производства которых используется сырье трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: 251,240,180 кг. На изготовление единицы изделия А1 требуется затратить сырья каждого вида 5,1,3 кг, соответственно, а для единицы изделия А2 – 2,8,4 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А1 составляет 15 д. ед., для единицы изделия A2 - 40 д. ед.

Требуется составить план производства изделий А1 и A2, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Решить задачу без использования ПЭВМ:

1.Сформулировать и записать математическую модель задачи 
1.2. Найти решение полученной модели графически 
1.3 Найти решение задачи используя симплекс-метод ("Поиск решения"). Написать выводы.

1.4. Определить интервалы устойчивости полученного решения по отношению к изменению прибыли на единицу продукции 
1.5. Определить теневые цены и интервалы их устойчивости по отношению к изменению ресурсов. Указать критическую точку данной производственной модели. 
1.6. Оценить стоимость готовой продукции, при изменении сырья каждого вида на величину ∆bi. Найти новый оптимальный план.  
1.7. Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение. Проверить выполнение теорем двойственности.

2. Решить задачу с помощью пакета MS Exel .

Таблица  1.1- Исходные данные

Вид сырья	Продукция		Ограничения по сырью	Изменения запасов
	А1	А2
1-й	5	2	251	150
2-й	1	8	240	70
3-й	3	4	180	120
Прибыль	15	40

Решение:

1. 1 Примем - количество изделий продукта А1; - количество изделий продукта А2.

Математическая модель задачи.

Сформулированная задача относиться к классу задач линейного программирования и может быть решена стандартными методами решения ЗЛП.

1.2 Графический метод

Рисунок 1.1-Область допустимых решений

Рисунок 1.2-Многоугольник решений ABCDE

 Отмечаем вектор направления  .

Рисунок 1.3 –Графическое решение ЗЛП

Двигаем до последней точки – С. Точка пересечения прмямых и

 

.

1.3 Симплекс-метод

Приведем задачу к каноническому виду.

                                                                                            

 Целевая функция принимает следующий вид                                                              

В качестве базиса выберем .

Таблица 1.2- Исходная симплекс таблица

Базис	Свободный член	Переменные					Оценочное отношение
	251	5	2	1	0	0	1251/2
	240	1	8	0	1	0	30
	180	3	4	0	0	1	45
Z	0	-15	-40	0	0	0

Наибольший по модулю элемент в последней строке -40 , получаем, что второй столбец ведущий. В стоблце оценочное отношение находим наименьшее 30. Вторая строка – ведущая. На пересечении разрешающий элемент  8. Вместо в базис вводим . По правилу многоугольника вновь формируем симплекс – таблицу.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.3- Симплекс таблица 2

Базис	Свободный член	Переменные					Оценочное отношение
	191	43/4	0	1	-1/4	0	404/19
	30	1/8	1	0	1/8	0	240
	60	21/2	0	0	-1/2	1	24
Z	1200	-10	0	0	5	0	0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. Ведущий – первый столбец. Ведущая строка третья. На пересечении разрешающий элемент  21/2.. В базис вместо вводим . 

Таблица 1.4- Симплекс таблица 3

Базис	Свободный член	Переменные					Оценочное отношение
	77	0	0	1	7/10	-19/10
	27	0	1	0	3/20	-1/20
	24	1	0	0	-1/5	2/5
Z	1440	0	0	0	3	4

Индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план. Zmax=1440,  Х*=(24,27;77;0; 0). Решение совпало с решением, полученным графическим методом. Таким образом, получаем, что необходимо производить 24 шт. продукта А1 и 27 шт. продукта А2. При этом прибыль будет максимальна 1440 ден.ед.

1.4 Воспользуемся приложением «Поиск решения» и определим интервалы устойчивости полученного решения по отношению к изменению прибыли на единицу продукции.

 

 

Рисунок 1.4- Интервалы устойчивости полученного решения

Нормированная стоимость представляет собой дополнительные двойственные переменные. Они показывают, насколько по модулю уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Нормированная стоимость для каждого продукта А1 и А2 равняется нулю, то есть целевая функция не уменьшиться при принудительном увеличении принудительном выпуске единицы данных видов продукции. То есть и А1 и А2 являются рентабельными продуктами.

Допустимое увеличение показывает, насколько максимально можно увеличить коэффициент целевой функции (то есть цену продукта), чтобы структура оптимального плана осталась прежней. Допустимое уменьшение, наоборот, показывает, насколько можно максимально уменьшить коэффициент целевой функции, чтобы осталась прежней структура оптимального плана. То есть, чтобы  выпуск продукта А1 оставался рентабельным, максимально допустимое увеличение его цены составляет примерно 15 ден. ед. Допустимое уменьшение 80 ден. ед.  Чтобы  выпуск продукта А2 оставался рентабельным, максимально допустимое увеличение его цены составляет приблизительно 10 ден. ед., допустимое уменьшение 20 ден. ед.

1.5. Определим теневую цену.

Рисунок 1.5- Теневая цена

Теневая цена представляет собой двойственные переменные. Они показывают, как изменится целевая функция при изменения запаса ресурса на единицу. Если ресурс использован полностью, то теневая цена этого ресурса положительна. В нашем примере полностью используются ресурсы вида 2 и 3,  и их теневые цены положительны. Если мы увеличим запас 2 -го вида сырья на единицу, то ЦФ возрастёт на 3 ден. ед., если мы увеличим запас 3- го вида сырья на единицу, то ЦФ возрастёт на 4 ден.ед.  Так же указанны  интервалы устойчивости теневых цен.

Рисунок 1.6– Отчет по результатам

Единственное ограничение без привязки - является первое ограничение. То есть ресурс вида 1 используется не полностью.  Разница составляет 77 ед.

Рисунок 1.7– Отчет по пределам

В отчёте по пределам указаны значения ЦФ при выпуске данного типа продукции на нижнем и верхнем пределах.

1.6 Оценим стоимость готовой продукции, при изменении сырья каждого вида на некоторую величину и найдем новый оптимальный план.

, - матрица, состоящая из столбцов первоначального базиса ( ) последней симплекс-таблицы:       

; ;    

Получаем, .

 Получаем, что все компоненты вектора неотрицательны, то есть

Значит, при заданных изменениях запаса сырья двойственные оценки не изменятся. Это говорит о том, что второй и третий виды сырья будут использоваться полностью, поэтому второе и третье неравенства исходной системы с измененными правыми частями можно записать как систему уравнений: .

Новая стоимость продукции получается подстановкой полученного оптимального плана в целевую функцию: Z нов. max =15*32+40*58=2800ден. ед.

7. Составим двойственную задачу:
1. Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи. Таким образом, в нашем примере будет три  двойственные переменные .
2. Ограничения двойственной задачи неравенства типа   превращаются в неравенства типа ,  а свободными членами становятся коэффициенты при соответствующих переменных целевой функции.
3. Прямая задача на максимум, обратная на минимум
4. неотрицательны.

Таким образом, двойственная задача к прямой:

2-ая теорема  двойственности.

 Компоненты  оптимального решения двойственной  задачи равны абсолютным значениям  коэффициентов при соответствующих  переменных линейной функции  исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.

Оптимальное решение двойственной  находится в индексной строке последней симплекс-таблицы и столбцах, соответствующих первоначальному базису: ; ; .

1-ая теорема  двойственности.

 Если одна  из взаимодвойственных задач  имеет оптимальное решение, то  его имеет и другая, причем  оптимальные значения их линейных  функций равны: Zmax. Zmax =2985. Находим =1440,

Теоремы двойственности выполняются.

 

Задача №2

По заданной таблице 2.1 ожидаемой прибыли как функции полных капиталовложений, используя метод динамического программирования, построить таблицу получения оптимальной прибыли от вложения капитала от 1 до 10 млн. ден. ед. в три фонда: А, В и С. По полученной таблице найти максимальную прибыль и распределение вложений в предприятия при наличии суммарного капитала величиной S. S=5 млн. ден. ед.

Таблица 2.1 - Исходные данные

Вложения, млн.ден.ед.	0	1	2	3	4	5
А	0	0,22	0,30	0,44	0,52	0,60
B	0	0,28	0,45	0,65	0,78	0,90
C	0	0,29	0,46	0,58	0,64	0,70