Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика"

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью -критерия оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.
6. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7	4,3	11	30,1	77	47,3	18,49	121	49
2	7	3,9	13	27,3	91	50,7	15,21	169	49
3	7	3,7	15	25,9	105	55,5	13,69	225	49
4	7	4,0	17	28,0	119	68,0	16,00	289	49
5	7	4,5	18	31,5	126	81,0	20,25	324	49
6	7	4,8	19	33,6	133	91,2	23,04	361	49
7	8	5,4	19	43,2	152	102,6	29,16	361	64
8	8	4,4	20	35,2	160	88,0	19,36	400	64
9	8	4,9	20	39,2	160	98,0	24,01	400	64
10	10	6,8	21	68,0	210	142,8	46,24	441	100
11	9	6,9	21	62,1	189	144,9	47,61	441	81
12	11	6,4	22	70,4	242	140,8	40,96	484	121
13	9	6,8	22	61,2	198	149,6	46,24	484	81
14	11	7,2	25	79,2	275	180,0	51,84	625	121
15	12	7,1	28	85,2	336	198,8	50,41	784	144
16	12	8,2	29	98,4	348	237,8	67,24	841	144
17	12	8,1	30	97,2	360	243,0	65,61	900	144
18	12	8,5	31	102,0	372	263,5	72,25	961	144
19	14	9,6	32	134,4	448	307,2	92,16	1024	196
20	14	9,9	36	138,6	504	356,4	98,01	1296	196
Сумма	192	125,4	449	1290,7	4605	3047,1	857,78	10931	1958
Ср. знач.	9,6	6,27	22,45	64,535	230,25	152,36	42,889	546,55	97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , ,

либо воспользоваться готовыми формулами

;

;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим коэффициенты чистой регрессии и параметр :

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,8 тыс. руб., а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,128 тыс. руб.

После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоретических значений результативного признака, остаточной дисперсии и средней ошибки аппроксимации.

№							, %
1	7	4,3	11	6,558	0,442	0,195	6,314
2	7	3,9	13	6,494	0,506	0,256	7,229
3	7	3,7	15	6,590	0,410	0,168	5,857
4	7	4,0	17	7,086	-0,086	0,007	1,229
5	7	4,5	18	7,614	-0,614	0,377	8,771
6	7	4,8	19	7,982	-0,982	0,964	14,029
7	8	5,4	19	8,462	-0,462	0,213	5,775
8	8	4,4	20	7,790	0,210	0,044	2,625
9	8	4,9	20	8,190	-0,190	0,036	2,375
10	10	6,8	21	9,838	0,162	0,026	1,620
11	9	6,9	21	9,918	-0,918	0,843	10,200
12	11	6,4	22	9,646	1,354	1,833	12,309
13	9	6,8	22	9,966	-0,966	0,933	10,733
14	11	7,2	25	10,670	0,330	0,109	3,000
15	12	7,1	28	10,974	1,026	1,053	8,550
16	12	8,2	29	11,982	0,018	0,000	0,150
17	12	8,1	30	12,030	-0,030	0,001	0,250
18	12	8,5	31	12,478	-0,478	0,228	3,983
19	14	9,6	32	13,486	0,514	0,264	3,671
20	14	9,9	36	14,238	-0,238	0,057	1,700
Сумма	192	125,4	449	191,992	0,008	7,609	110,371
Ср. знач.	9,6	6,27	22,45	9,600	–	0,380	5,519

Остаточная дисперсия:

.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии :

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

;  .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,523% или 0,299% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Коэффициент множественной корреляции определить через матрицы парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

Находим:

.

Коэффициент множественной корреляции:

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью -критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

;

.

Фактические значения -критерия Стьюдента:

, .

Табличное значение критерия при уровне значимости и числе степеней свободы составит . Таким образом, признается статистическая значимость параметра и незначимость параметра .

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

,

и

, .

6. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул (3.16):

; .

Найдем и :

;

.

Имеем:

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, существенным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

7. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

.

Найдем его параметры:

;

.

Таким образом,

,  .

8. Проверим вычисления в MS Excel.

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Сервис→Анализ данных→Корреляция):

.

С помощью инструмента Регрессия (Сервис→Анализ данных→Регрессия) получаем следующие результаты:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,966294
R-квадрат	0,933724
Нормированный R-квадрат	0,925927
Стандартная ошибка	0,668998
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	107,1915	53,59576	119,7516	9,58E-11
Остаток	17	7,608481	0,447558
Итого	19	114,8
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,707175	0,537318	3,177218	0,005511	0,573534	2,840816	0,573534	2,840816
x1	0,78961	0,231638	3,40881	0,003343	0,300897	1,278324	0,300897	1,278324
x2	0,131045	0,067155	1,951388	0,067688	-0,01064	0,27273	-0,01064	0,27273