Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика"

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. ( , )

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	85	142
2	89	148
3	87	142
4	79	154
5	89	164
6	113	195
7	67	139
8	98	167
9	82	152
10	87	162
11	86	155
12	117	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии по .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
7. Проверить вычисления в MS Excel.

 

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85	142	12070	7225	20164	153,12	-11,12	123,54	7,83
2	89	148	13172	7921	21904	156,91	-8,91	79,41	6,02
3	87	142	12354	7569	20164	155,01	-13,01	169,34	9,16
4	79	154	12166	6241	23716	147,42	6,58	43,28	4,27
5	89	164	14596	7921	26896	156,91	7,09	50,25	4,32
6	113	195	22035	12769	38025	179,69	15,31	234,49	7,85
7	67	139	9313	4489	19321	136,03	2,97	8,80	2,13
8	98	167	16366	9604	27889	165,45	1,55	2,40	0,93
9	82	152	12464	6724	23104	150,27	1,73	3,00	1,14
10	87	162	14094	7569	26244	155,01	6,99	48,82	4,31
11	86	155	13330	7396	24025	154,06	0,94	0,88	0,60
12	117	173	20241	13689	29929	183,48	-10,48	109,89	6,06
Итого	1079	1893	172201	99117	301381	1893,37	-0,37	874,10	54,64
Среднее значение	89,92	157,75	14350,08	8259,75	25115,08	157,78	–	72,84	4,55
	13,20	15,17	–	–	–	–	–		–
	174,14	230.02	–	–	–	–	–		–

Находим параметры уравнения регрессии

;

.

Получено уравнение регрессии:

.

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,95 руб. (или 95 коп.).

После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7–10 нашей таблицы.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

.

Это означает, что 68,2% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.

3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия составит

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составит .

Определим стандартные ошибки , , (остаточная дисперсия на одну степень свободы ):

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

 и  ;

 и 

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: руб.

5. Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

 и  .

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( ) и находится в пределах от 141,83 руб. до 185,69 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую:

7. Проверим вычисления в MS Excel (Сервис→Анализ данных→Регрессия).

Получаем следующие результаты:

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,826638
R-квадрат	0,68333
Нормированный R-квадрат	0,651664
Стандартная ошибка	9,349262
Наблюдения	12
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1886,163	1886,163	21,57866	0,000915
Остаток	10	874,087	87,4087
Итого	11	2760,25
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	72,47157	18,5554	3,905687	0,002934	31,12757	113,8156	31,12757	113,8156
x	0,948416	0,204168	4,645284	0,000915	0,493503	1,40333	0,493503	1,40333
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное y	Остатки
1	153,087	-11,087
2	156,8806	-8,88062
3	154,9838	-12,9838
4	147,3965	6,603545
5	156,8806	7,119382
6	179,6426	15,35739
7	136,0155	2,984541
8	165,4164	1,583635
9	150,2417	1,758296
10	154,9838	7,016214
11	154,0354	0,964631
12	183,4363	-10,4363

 

 

Задача 2. По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ( ).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7,0	4,3	11,0	11	9,0	6,9	21,0
2	7,0	3,9	13,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	17,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	4,5	18,0	15	12,0	7,1	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	4,9	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	21,0	20	14,0	9,9	36,0