Касательная к графику

 

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром  в точке   с полуосями a и b задается уравнением  .

Эллипс также  как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса: 

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси  абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

Пример.

Написать уравнения  касательных к эллипсу   в точках с абсциссамиx=2.

Решение.

Найдем сначала  ординаты точек касания, соответствующих  абсциссам x=2. Для этого подставим значение x=2 в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительно y: 

Таким образом, получаем две точки касания   и  , принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.

Найдем уравнения  полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительноy: 

То есть, верхний  полуэллипс задается функцией  , а нижний -  .

Теперь можем  действовать по стандартному алгоритму  для составления уравнения касательной  к графику функции в точке.

Первая касательная  в точке  : 

Вторая касательная  в точке  : 

Графическая иллюстрация.

 

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром  в точке   и вершинами   и  задается равенством  (рисунок ниже слева), а с вершинами   и   - равенством   (рисунок ниже справа).

В виде объединения  двух функций гипербола представима  как 
 
 или  .

В вершинах гиперболы  касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.

Таким образом, для  нахождения уравнения касательной  к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.

Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для  ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.

Пример.

Составьте уравнение  касательной к гиперболе   в точке  .

 

Решение.

Запишем гиперболу  в виде двух функций: 

Выясним к какой функции принадлежит точка касания  .

Для первой функции  , следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.

Для второй функции  , следовательно, точка принадлежит графику этой функции.

Находим угловой  коэффициент касательной: 

Таким образом, уравнение  касательной имеет вид  .

Графическая иллюстрация.

Касательная к параболе.

Для составления  уравнения касательной к параболе вида   в точке  пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как  . Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна осиОх.

Параболу   сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y: 

Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания   и действуем по стандартной схеме.

Касательная к графику  такой параболы в вершине параллельна  оси Оу.

Пример.

Написать уравнение  касательной к графику параболы  , если угол наклона касательной равен  .

Решение.

Представим параболу через две функции: 

Мы знаем, что  угловой коэффициент касательной  равен значению производной функции  в точке   и равен тангенсу угла наклона:  . Из этого равенства мы можем найти абсциссу точки касания.

Для первой функции: 

Полученное уравнение  действительных корней не имеет, следовательно, к этой функции не существует касательной  с углом наклона  .

Для второй функции: 

Получаем точку  касания  .

Таким образом, уравнение  искомой касательной имеет вид  .

Графическая иллюстрация.