История развития математики

Вавилония

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т. н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н. э. и  до 300 н. э. Математика на клинописных  табличках в основном была связана  с ведением хозяйства. Арифметика и  нехитрая алгебра использовались при  обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных  процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими  общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался  для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса  и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.

Вавилоняне создали и  систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59, основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел, начиная  с 60 и больше, вавилоняне ввели позиционную  систему счисления с основанием 60. Существенным продвижением стал позиционный  принцип, согласно которому один и тот  же числовой знак (символ) имеет различные  значения в зависимости от того места, где он расположен. Примером могут  служить значения шестерки в записи (современной) числа 606. Однако нуль в  системе счисления древних вавилонян  отсутствовал, из-за чего один и тот  же набор символов мог означать и  число 65 (60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали  неоднозначности и в трактовке  дробей. Например, одни и те же символы  могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста.

Вавилоняне составили  таблицы обратных чисел (которые  использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов  и кубических корней. Им было известно приближение числа. Клинописные  тексты, посвященные решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют  о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые  специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью  неизвестными, а также отдельные  разновидности кубических уравнений  и уравнений четвертой степени. На глиняных табличках запечатлены  только задачи и основные шаги процедур их решения. Так как для обозначения  неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и  методы решения в основном заключались  в геометрических действиях с  линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались  и решались в словесных обозначениях.

Около 700 до н. э. вавилоняне стали применять математику для  исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать  положения планет, что было важно  как для астрологии, так и для  астрономии.

В геометрии вавилоняне знали  о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих  сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность, — прямой. Они располагали также  правилами вычисления площадей простых  плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число пи вавилоняне считали равным 3.

Египет

Наше знание древнеегипетской математики основано, главным образом, на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н. э. Излагаемые в этих папирусах  математические сведения восходят к  еще более раннему периоду  — ок. 3500 до н. э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес  тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей  и количество камней, требуемое для  возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также  задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для  приготовления заданного числа  кружек пива, а также более сложные  задачи, связанные с различием  в сортах зерна; для этих случаев  вычислялись переводные коэффициенты.

Но главной областью применения математики была астрономия, точнее, расчеты, связанные с календарем. Календарь  использовался для определения  дат религиозных праздников и  предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал  уровню ее развития в Вавилоне.

Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система  счисления того периода также  уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло так называемое иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т. д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались в виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой.

Геометрия у египтян сводилась  к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также  формулам вычисления объемов некоторых  тел. Надо сказать, что математика, которую  египтяне использовали при строительстве  пирамид, была простой и примитивной.

Задачи и решения, приведенные  в папирусах, сформулированы чисто  рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и  геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они  смогли вывести, были также самого простейшего  вида. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял  собой скопление эмпирических формул и правил.

Хотя майя, жившие в Центральной  Америке, не оказали влияния на развитие математики, их достижения, относящиеся  примерно к 4 в., заслуживают внимания. Майя, по-видимому, первыми использовали специальный символ для обозначения  нуля в своей двадцатеричной системе. У них были две системы счисления: в одной применялись иероглифы, а в другой, более распространенной, точка обозначала единицу, горизонтальная черта — число 5, а специальный символ обозначал нуль. Позиционные обозначения начинались с числа 20, а числа записывались по вертикали сверху вниз.